1.1. Понятие линейного пространства

Линейным пространством называется произвольное множество L такое, что для любых двух его элементов a и b однозначно определен

элемент a+b, называемый суммой a и b, для любого элемента a и любого вещественного числа α однозначно определен элемент α∙a, называемый результатом умножения a на число α, причем для операций сложения и умножения на число по определению имеют место следующие свойства:

1) a+b=b+a 2) a+(b+c)=(a+b)+c 3) сущ-вует такой элемент 0, для которого aЄL a+0=a 4) для каждого aЄL существует элемент a’ЄL, называемый противоположным к a такой, что a+a’=0

5) α(a+b)= αa+ αb 6)

7) 8),

где a,b,c – произв. элементы L, а α и β – вещ.числа

Элементы множества L называют векторами, а само это множество часто называют векторным пространством. Элемент 0 при этом называют нулевым вектором данного пространства, а вектор a’ такой , что a+a’=0, называют противоположным к вектору a.

Единственность нулевого вектора

Докажем, что нулевой вектор линейного пространства определен однозначно.

Предположим, что существуют два нулевых вектора: 0’ и 0’’; имеем: 0’=0’+0’’=0’’

Единственность противоположного вектора

Докажем, что для каждого вектора существует единственный противоположный к нему вектор.

Пусть для некоторого вектора a нашлись два противоположных к нему вектора: a’ и a’’; тогда получим:Теперь мы можем обозначить вектор, противоположный к вектору a через -a. Мы можем также ввести операцию вычитания для векторов, положив для любых двух векторов a и b: a-b=a+(-b)

Вектор a-b называется при этом разностью векторов a и b. В силу единственности противоположного вектора можно утверждать, что в линейном пространстве любое уравнение вида a+x=b имеет единственное решение: x=b-a.

Результат умножения на нуль

Докажем, что для любого вектора a 0∙a=0

Действительно:

, откуда, 0∙a=a-a=0 (использованы свойства (6) и (8) из определения линейного пространства, а также предыдущее следствие).

Результат умножения на -1.

Докажем, что для любого вектора a (-1)∙a=-a (т.е. если умножить произвольный вектор на -1, то получится противоположный к исходному вектор).

Имеем: , откуда в силу единственности противоположного вектора получаем доказываемое.

Результат умнож. произв. числа на нулевой в-р

Для произвольного вещественного α, α∙0=0.

В самом деле, для произвольного вектора α

Следовательно, α∙0=0.

1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.

Здесь же мы рассмотрим интересный пример линейного пространства без базиса, т.е. такого линейного пространства, в котором любая линейно независимая система может быть расширена без утраты свойства линейной независимости. С этой целью возьмем пространство функций С[a,b](для произвольных вещественных a,b) и зададим в нем систему функций {1=x0,x,x2,…,xn} для некоторого . Докажем, что эта система линейно независима для любого неотрицательного n. Предположим противное - тогда для некоторого найдется нетривиальная линейная комбинация векторов указанной системы, обращающаяся в нуль. Поскольку нулевой вектор здесь - это функция, тождественно равная нулю на отрезке, то существование такой линейной комбинации равносильно тому, что многочлен , не все коэффициенты которого равны нулю, тождественно равен нулю. Разумеется, это невозможно. Отсюда следует, что заданная выше система векторов (функций) линейно независима при любом n.

Определение 1.2 Линейное пространство, обладающее базисом, называется конечномерным.

Линейное пространство без базиса называется бесконечномерным.

1.3. Подпространства и линейные оболочки

Подмножество S линейного пространства L называется подпространством пространства L, если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Подмножество S линейного пространства L является подпространством L тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в S оно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Примеры. 1) В пространстве V(3) всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства Rn (где n в данном случае есть число неизвестных системы).

Линейной оболочкой системы векторов

a1an некоторого линейного пространства L называется множество всех линейных комбинаций векторов системы.

По определению тогда


Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов u,v. Тогда (для произвольных вещественных λ и μ).

1.4. Преобразования базисов

Пусть задан в линейном пространстве L некоторый базис (e1en) . Тогда любой вектор xЄL может быть разложен единственным образом по базису:

Док-во: Введем новый базис (e1en). В этом базисе тот же самый вектор x будет иметь уже другие координаты:

Введем в рассмотрение новый объект - векторную матрицу-строку. Это обычная матрица-строка, но ее элементами являются не числа, а векторы (из некоторого линейного пространства). Любую систему векторов можно задать в виде векторной матрицы строки. Для векторной матрицы-строки определим умножение ее справа на обычную числовую матрицу B размера mxp для данного m, равного числу векторов строки и произвольного p следующим образом:

С использованием векторных матриц-строк удобно записывать разложение произвольных систем векторов по данному базису.

Пусть дан базис (в виде векторной матрицы-строки) и система векторов . Запишем разложение векторов системы a по базису e:

Или, с использованием векторных матриц-строк:

, j-ый столбец матрицы - это столбец координат вектора в базисе .Если система линейно независима, то столбцы матрицы линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное - тогда найдутся числа , не все равные нулю, такие, что

,


или, покомпонентно:

С учетом этих равенств рассмотрим линейную комбинацию

Подставляя вместо каждого вектора , его разложение по базису , получим:

Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов, равную нулю, что невозможно.

Для одного вектора его разложение по базису задается в виде:

, где - столбец координат вектора в базисе .Вернемся к задаче преобразования базисов. Запишем разложение нового («штрихованного») базиса в старом (не «штрихованном»):

Матрица (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса к базису . Каждый ее столбец есть столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. Столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной. Тогда для разложения вектора в новом базисе получим:

Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису

Так как матрица не вырождена, то

Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса к базису .

Докво Пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к . Составляем матрицы перехода от ки от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и соответственно. Тогда используя утверждение получим

1.5. Вещественное евклидово пространство

Вещественное линейное пространство

называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая любой паре векторов вещественное число, называемое скалярным произведением на и обозначаемое, так, что выполняются следующие тождества:

(коммутативность)