Шпоргалки к 1 аттестации (re_line_a1)

Посмотреть архив целиком

1) О1. Векторное (линейное) пространство – множество V с введёнными на нём операциями +(сложение векторов, бинарная операция) и λ*(умножение вектора на число λєR), удовлетворяющие след. свойствам:

1) x+y=y+x

2) (x+y)+z=x+(y+z)

3) 0; x+0=x

4) –x=x’; x+(-x)=0

5) λ(µx)=(λµ)R;

6) (λ+µ)x=λx+µx

7) λ(x+y)=λx+λy

8) 1=e; 1*x=x;

(Крит. Сильвестра) Невырожденная кв. форма f(x), f: V->R, является положительно определённой <=> все угловые миноры |∆1|>0, …, |∆n|>0

f – отрицательно определённная <=> |∆1|<0, |∆2|>0, |∆3|<0, …, sgn(|∆n|)=(-1)n


3) Т5.6. Матрица ЛО в фикс. базисе является диагональной <=> базис состоит из СВ.

Следствие 5.1. Если харак-е ур-е ЛО имеет n корней и попарно различных действительных корней, то сущ-ет базис, в котором матрица этого ЛО диагональна.

Следствие 5.2. Если ур-е матрицы,… матрица подобна диагональной.

Квадратичная форма f(x) наз-ся положительно определённой, если для любого xєV f(x)>0. (q=0); Отрицательной – если f(x)<0 (p=0).

О2. Кв. форма наз-ся знакопеременной или знаконеопределённой, если сущ-ют x,yєV: f(x)>0, f(y)<0.


4) О3. Пусть V – векторное пространство. Система векторов a1,…,an называется базисом пространства V, если

а) Система a­1,…,an ЛНЗ

б) Любой вектор bєV представляется в виде линейной комбинации векторов a1,…,an: сущ-ют x1,…,xnєR;

b=x1a1+…+xnan;

a1,…,an; b1,…,bn – 2 базиса(старый и новый).

b1=c11a1+c­21a2+…+cn1an

b2=c12a1+c22a2+…+cn2an (*)

bn=c1na1+c2na2+…+cnnan

матрица перехода от базиса а к базису b.

АєMn(R) её хар-м ур-ем наз-ся ур-е вида

detA-λE)=0, λ – переменная.

Т.(об инвариантности характ. многочлена).

При изменении базиса, характ. многочлен не меняется.


5) Отображение A: L1->L2 наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:

1. A(x+y)=A(x)+A(y);

2. A(λx)=λA(x);

С каждым ЛО A: L1->L2 связаны 2 множетсва: Ker A=A-1(0)={xєL1: Ax=0} – ядро ЛО А.

Im A= A(L)={yєL2: xєL1 (Ax=y)} – образ А.

Ab=UTAeU – переход квадратичной формы. (e)->U->(b);


6) Отображение A: L1->L2 наз-ся линейным (линейным оператором, ЛО), если:

1. A(x+y)=A(x)+A(y);

2. A(λx)=λA(x);

Матрицей оператора A: L->L в базисе (b1,…,bn) является матрица мA, столбцами которой являются координаты векторов A(b1),…,A(bn) в том же самом базисе.

(неравенство Коши-Буняковского). 

(о неравенстве треугольника). 


7) Собственным вектором матрицы А наз-ся ненулевой е, т. ч. сущ-ет λєR: Aee. При этом λ – собственной значение матрицы А, соответствующее собственному вектору.

О. Собственным вектором ЛО А наз-ся вектор е, т.ч. сущ-ет λєR: A(e)=λe, λ – собственное значение А.

λ – СЗ <=> AX=λX

xєV, пусть (x1a,…,xna) – координаты вектора в базисе а. xa=(x1a,…,xna)T.

xb=(x1b,…,xnb)T – координаты х в базисе b.

Тогда xa=Ta->bxb

Следствие xb=T-1a->bxa;


8) А*: En->En наз-ся сопряженным ЛО А: En->En, если для любых x,yєEn (Ax,y)=(x,A*y)

А наз-ся самосопр. если A=A*

ЛО, действующий в n-мерном евкл. пространстве, наз-ся ортогональным оператором(ОО), если он сохраняет скаляр произведение.

Т. А – ОО, то ||A(x)||=||x||

м-ца А наз-ся ортогональной, если АTA=E

Если матрица ЛО в нек. ОНБ(?) базисе ортогональна, то оператор ортогонален.

Если оператор ортогонален, то в любом ОНБ его матрица ортогональна.

В ЕП м-ца перехода от одного ОНБ к ОНБ является ортогональной.

Любая ортогонал. м-ца переводит любой ОНБ в ОНБ.

dim(L1+L2)=dimL1+dimL2-dim(L1пересечL2)


9) f наз-ся билинейной, если она является линейной по каждому аргументу, т.е. фиксируя а:

f(a,x)=fa(x): L->R – лин. ф-ция.

fa(x+y)=fa(x)+fa(y); fa(λx)=λfa(x);

Фикс. вектор b: fb(x)=f(x,b) – лин. ф-ция.

Для определения билин. ф-ции на LxL достаточно определить значения f(ei,ej)=aij;

А=(aij) наз-ся матрицей билинейной формы.

Билин. ф-ция на-ся симметричной, если для любых x,y выполняется

f(x,y)=f(y,x) и называется кососимметричной, если f(x,y)=-f(y,x);

L – ЛП, базисы (b1,…,bn)->(e1,…,en), U – матрица перехода, ЛО А: L->L, мАbAe – его матрицы

Тогда мАe=U-1AbU







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.