Лекции 2012 (Лекции 2012)

Посмотреть архив целиком

209





Лекции 2012 года.

1-я лекция

Основные вопросы к экзамену по этой лекции:

1.1 Введение.

1.2.Предмет и задачи механики жидкости и газа(гидравлики)

1.3. Силы, действующие на жидкость.

1.4. Давление жидкости.

1.5.Абсолютное и избыточное давление. Разряжение.

1.6.Использование пьезометра. 1.7.Единицы измерения.

1.8. Пример гидравлической системы.

1.4. Рекомендуемая литература

1.1 Введение

Содержание курса:

1.Свойства жидкостей и газов;

2.Гидростатика;

3.Кинематика жидкостей;

4.Гидродинамика;

5.Основы теории лопастных и объемных насосов;


Гидравликой называется прикладной раздел механики, изучающий законы равновесия и движения жидкостей для решения технических задач.

Гидравлика зародилась в цивилизациях Древнего мира при создании систем водоснабжения и канализации. Такие системы были обнаружены при раскопках Кносского дворца на острове Крит. Они были построены за 2000 лет до нашей эры. Система водоснабжения обеспечивала подачу воды из горных источников к дворцу и слив сточных вод по трубам в канализационную систему. Трубопроводы были сделаны из глиняных стандартных отдельных участков, конструкция которых и уплотнительные элементы напоминают современные системы такого типа.

Один из виднейших гидравликов древнего мира - греческий ученый Архимед, живший в третьем столетии до нашей эры, известен открытием закона плавания тел и изобретением винтового насоса.

Существует предание, что Архимед определял по заданию царя Гирона состав вновь изготовленной короны. Гирон решил, что в короне много серебра. Удельный вес золота и серебра был известен, корона имела неправильную форму, поэтому объем определить было трудно. Архимед погрузил в воду серебряный и золотой бруски равные по весу короне, затем корону. Воды из емкости выплеснулось меньше, чем от серебряного бруска, но больше, чем от золотого. Утверждают, что так был открыт основной закон гидростатики: закон Архимеда.

Открытие Архимеда применяется при решении задач о плавании тел, при строительстве дирижаблей, аэростатов, подводных лодок и иных устройств.

Знаменитый швейцарский инженер Огюст Пикар в тридцатые годы прошлого столетия на стратостате ФРНС поднимался в атмосферу на высоту 16 км. Объем оболочки стратостата шаровидной формы составлял 14000 м3. Шар наполнялся водородом с плотностью ρводрд = 0,085 кг/м3. Находясь в воздушной атмосфере с плотностью ρвозд = 1,25 кг/м3, шар создавал подъемную силу равную

Fa = ρвзд *Vш * g = 1,25*14000*9,81 = 171625 H.

При этом вес водорода в шаре составлял Gвдрд=11673 Н.

Другим примером технического применения Огюстом Пикаром закона Архимеда является батискаф "Триест".

Рис.1.3. Устройство батискафа Триест. 1 – резервуар для водного балласта, 2 – резервуары для бензина, 3- бункер для чугунной дроби, 4 – электромагниты для опорожнения бункеров с чугунной дробью, 5 – электромагниты для заслонок, выпускающих бензин, 6- клапаны продувки и загрузки водного балласта, 7 – клапан сброса давления, 8 – донные прожекторы, 9 – тоннель выхода экипажа, 10 – гондола.

Еще одно изобретение Архимеда - винтовой насос или Архимедов винт - водоподъемная машина, вал с винтовой поверхностью, установленный в наклонной трубе, нижний конец которой погружен в воду. При вращении (напр., от ветряного или другого двигателя) винтовая поверхность вала перемещает воду по трубе на высоте до 4 м. Подобной машиной осушались заболоченные местности в Египте при Птоломеях.

Цилиндрическая труба длиной 4-6 м, по оси которой установлен деревянный вал с тремя винтовыми лопастями, при повороте вода зачерпывалась первым витком, подавалась во второй и в третий.

Уникальные системы водоснабжения разработали древние инженеры, их акведуки имели многокилометровую протяженность, при этом точно рассчитывались перепады высоты между точками, где были расположены источники воды, и точками, куда вода должна была доставляться по акведукам.



Рис.1.4 Принцип действия винтового насоса.

В Рим вода поставлялась через 11 акведуков, которые были построены в течение 500 лет и имели общую длину почти 350 километров. Сорок семь километров акведуков проходили над землей, остальные под землёй.

Самый длинный акведук был построен во втором столетии нашей эры, чтобы поставлять воду в Карфаген, сейчас это место находится на территории современного Туниса, его длина составляла 141 километр.

Римские акведуки были чрезвычайно сложными сооружениями, технологически они не устарели через 1000 лет после падения Римской империи. Римляне строили их не только в Риме, но и в Галии, и в Испании. Они были построены с замечательной точностью: акведук в Провансе (современная Франция) имел уклон 34 см на километр (1:3000), спускался всего по вертикали на 17 метров при длине 50 километров.

Транспортировка воды только за счёт силы тяжести была очень эффективна, через этот акведук проходило 20.000 кубических метров воды в день.

Как наука, гидравлика оформилась при переходе к промышленному производству, это произошло в семнадцатом-восемнадцатом столетии.

Голландский инженер и математик Симон Стевин написал книгу, одну из первых по гидростатике. Занимаясь определением силы на плоскую стенку, он открыл «гидростатический парадокс»: давление жидкости, определяемое в любой точке сосуда, не зависит от формы сосуда, а зависит от положения точки относительно уровня свободной поверхности.

Стевин вывел формулы для определения усилий на любую часть борта судна, исходя из своего определения «гидростатического парадокса

Значение атмосферного давления на поверхности земли впервые экспериментально определил в 1634 г. итальянский ученый Торричелли и он же определил вес воздуха. Земля окружена атмосферой - воздушной оболочкой, состоящей из смеси различных газов. Молекулы этих газов, находясь в поле тяготения Земли, притягиваются к ней. Вследствие этого слои воздуха, расположенные выше, давят на нижние слои, а через них на поверхность Земли и находящиеся на ней тела. Это давление называют атмосферным. До середины XVII века считалось непререкаемым утверждение древнегреческого ученого Аристотеля о том, что вода поднимается за поршнем насоса потому, что «природа не терпит пустоты». Однако при сооружении фонтанов во Флоренции обнаружилось, что засасываемая насосами вода не желает подниматься выше приблизительно 10-ти метров. Недоумевающие строители обратились за помощью к престарелому Галилею, который сострил, что, вероятно, природа перестает бояться пустоты на высоте более 10-ти метров, но все же предложил разобраться в этом своим ученикам — Торричелли и Вивиани. Они доказали, что высота поднятия жидкости за поршнем насоса должна быть тем меньше, чем больше ее плотность. Так как ртуть в 13 раз плотнее воды, то высота ее поднятия за поршнем будет во столько же раз меньше. Осмысливая результаты эксперимента, Торричелли делает два вывода: пространство над ртутью в трубке пусто (позже его назовут «торричеллиевой пустотой»), а ртуть не выливается из трубки обратно в сосуд потому, что атмосферный воздух давит на поверхность ртути в сосуде. Из этого следовало, что воздух имеет вес. Это утверждение казалось настолько невероятным, что не сразу было принято учеными того времени.

Опыт Торричелли заключается в следующем. Стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, заполняют ртутью и, закрыв отверстие другого конца, переворачивают и погружают в сосуд с ртутью (рис. 1.6). Под уровнем ртути трубку открывают, часть ртути из трубки выливается, остается столб ртути высотой h = 760 мм (над ним в трубке образуется пространство, заполненное парами ртути). Эта высота ртутного столба сохраняется и при наклонном положении трубки.

Давление столба ртути высотой h уравновешивает давление атмосферы. Наблюдения показали, что высота столба ртути в трубке и значение атмосферного давления зависит от погодных условий и от высоты местности.

По постановлению Парижского парламента от 4 сентября 1624 года было запрещено под страхом смертной казни «утверждать и преподавать положения, направленные против древних и признанных авторов". В первую очередь имели в виду Аристотеля, который утверждал, что воздух не имеет веса и что "природа не терпит пустоты". Торричели - догадался, что всё дело в весе воздуха. Сегодня давление 760 мм р.с. – воспринимается нормально. Тогда было такой крамолой, что Паскаль вызвался опровергнуть Торричели и поставил опыты, которые полностью подтвердили результаты Торричели. Забавно, что Паскаль не ограничивал выбор жидкостей для опытов ртутью, а использовал для них даже вино.

Наблюдения показывают, что жидкость, находящаяся в сосуде в состоянии покоя, давит на дно и стенки сосуда и на любое тело, погруженное в эту жидкость. Паскалем был найден закон, носящий его имя: жидкости и газы передают действующее на них давление равномерно по всем направлениям. Им же был установлен закон сообщающихся сосудов: в сообщающихся сосудах уровни жидкостей равной плотности равны.

Позднее Исаак Ньютон открыл закон трения в жидкости и сформулировал закон сопротивления жидкости движущемуся в ней телу.

Л. Эйлер составил дифференциальные уравнения относительного равновесия и движения жидкости, известные, как уравнения Эйлера и предложил способы описания движения жидкости.

Д.Бернулли получил уравнение движения невязкой жидкости, известное как уравнение Бернулли.

В гидравлике получили известность труды француза Навье, создавшего законы движения вязкой жидкости, англичанина Рейнольдса, разработавшего критерии подобия, а также определившего два закона движения жидкости: ламинарный и турбулентный и других, имена которых и портреты наша кафедра поместила на стенде и в лаборатории.

Русским ученым Н.Е.Жуковским разработана теория гидроудара, открыты важные закономерности в теоретической механике и аэродинамике, нашим соотечественником Н.П. Петровым разработана гидродинамическая теория смазки.

Труды этих ученых заложили основы науки, которая называется гидромеханикой.

Гидромеханика - наука, изучающая равновесие и движение жидкостей и их взаимодействие с твердыми телами, полностью или частично погруженными в жидкость.

Жидкости по молекулярному строению занимают промежуточное положение между твердыми телами и газами, проявляя текучесть, присущую газам и сопротивляемость деформации, присущую твердым тела.

Жидкостью в гидромеханике считаются все среды, которым свойственна текучесть, то есть способность изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил. Обычные жидкости называют капельными, газы называют некапельными жидкостями.

Капельные жидкости в малом количестве под действием поверхностного натяжения принимают сферическую форму, а в большом количестве образуют свободную поверхность раздела с газом. Особенностью капельных жидкостей является то, что они мало изменяют свой объем при изменении давления, поэтому их обычно считают несжимаемыми.

Некапельные жидкости или газы могут значительно уменьшаться в объеме под действием давления и неограниченно расширяться при отсутствии давления, т. е. обладают большей сжимаемостью.

Механическое движение этих сред описывается едиными дифференциальными уравнениями.

Решение этих уравнений требует учета специфических свойств жидкостей и газов, поэтому механика сплошных сред разделяется на ряд самостоятельных дисциплин: гидромеханику, газодинамику, теорию упругости.

Жидкости и газы с точки зрения механики отличаются только степенью сжимаемости. В условиях, когда это свойство не является определяющим, решения уравнений сплошной среды оказываются одинаковыми для жидкостей и газов.

В зависимости от направленности исследований употребляются наименования теоретическая и техническая гидромеханика, получившая название гидравлики.

В гидравлике рассматривают, главным образом потоки жидкости, ограниченные и направляемые твердыми стенками, т. е. течения в открытых и закрытых руслах или каналах. В понятие русло или канал включают поверхности или стенки, которые ограничивают и направляют поток, следовательно, не только русла рек, каналов и лотков, но и различные трубопроводы, насадки, элементы гидромашин и других устройств, внутри которых протекает жидкость.

1.2. Предмет гидравлики

Законы движения капельных жидкостей и газов при малой скорости течения газа можно считать одинаковыми.

Течения газа относятся к области гидравлики в тех случаях, когда их скорости значительно меньше скорости звука и, следовательно, сжимаемостью газа можно пренебречь. Примером такого движения газов являются течение воздуха в вентиляционных системах, в системах кондиционирования воздуха и некоторых газопроводах.

Историческое развитие механики жидкостей шло двумя различными путями.
Первый путь — теоретический, путь точного математического анализа, основанного на законах механики. Он привел к созданию теоретической гидромеханики, которая долгое время являлась самостоятельной дисциплиной, непосредственно не связанной с экспериментом. Однако на пути чисто теоретического исследования движения жидкости встречается множество трудностей, методы теоретической гидромеханики не всегда дают ответы на вопросы, выдвигаемые практикой.

Второй путь — путь широкого привлечения эксперимента и накопления опытных данных для использования их в инженерной практике — привел к созданию гидравлики; он возник из насущных задач практической, инженерной деятельности людей. В начальный период своего развития гидравлика была наукой чисто эмпирической. В настоящее время в ней, где это возможно и целесообразно, все больше применяют методы теоретической гидромеханики для решения отдельных задач, а теоретическая гидромеханика все чаще начинает прибегать к эксперименту как к критерию достоверности своих выводов, таким образом, различие в методах этих двух направлений одной и той же науки постепенно исчезает.

В настоящее время гидромеханика и гидравлика развиваются, как науки на пути сближения теоретических и экспериментальных знаний.

Методы, используемые в современной гидравлике при исследовании движения, заключается в следующем.

1.Исследуемые явления сначала упрощают и к ним применяют законы теоретической механики.

2. Полученные результаты сравнивают с данными опытов, выясняют степень расхождения, уточняют и исправляют теоретические выводы и формулы для приспособления их к практическому использованию.

3. Явления трудно поддающихся теоретическому анализу из-за сложности, исследуют экспериментальным путем, а результаты представляют в виде эмпирических формул.

В результате разработаны методы расчета и проектирования разнообразных гидротехнических сооружений: плотин, каналов, водосливовов, трубопроводов, применяемых для подачи всевозможных жидкостей, а также для расчета гидромашин: насосов, гидротурбин, гидропередач, а также других гидравлических устройств.

Особенно велико значение гидравлики в машиностроении, где приходится иметь дело с закрытыми руслами (например, трубами) и напорными течениями в них, т. е. с потоками без свободной поверхности, когда давление в них отличается от атмосферного.

Гидросистемы, состоящие из насосов, трубопроводов, различных гидроагрегатов широко используют в машиностроении в качестве систем привода, систем охлаждения, систем топливоподачи, смазочных систем.

На различных современных машинах все в большом количестве применяются гидрогидромеханизмы и гидроавтоматика.

Гидромеханизмы представляют собой устройства для передачи механической энергии и преобразования движения с помощью жидкости. По сравнению с механизмами других видов, например, зубчатыми гидромеханизмы имеют ряд существенных преимуществ: простота преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное, возможность плавного изменения скоростей входного и выходного звеньев, компактность конструкций, малая удельная масса гидромашин при заданной мощности в сравнении с электромашинами.

Гидромеханизмы с системами автоматического или ручного управления, образуют гидроприводы, которые широко используют в металлообрабатывающих станках, на летательных аппаратах (самолетах, вертолетах, ракетах), на транспортных машинах (колесных и гусеничных), строительно-дорожных и подъемно-транспортных машинах, в прокатных станах и прессах.

Для расчета и проектирования гидроприводов и систем автоматического регулирования и других устройств с гидромашинами и гидроавтоматикой, а также для правильной их эксплуатации, ремонта и наладки нужно иметь соответствующую подготовку в области гидравлики и теории гидромашин.

1.3. Силы, действующие на жидкость.

Гипотеза сплошной среды рассматривает жидкость как непрерывную среду, заполняющую пространство без пустот и промежутков, т. е. отвлекаются от молекулярного строения жидкости, и даже малые ее частицы, считают состоящими из бесконечно большого числа молекул.

Вследствие текучести (подвижности частиц) в жидкости действуют силы не сосредоточенные, а непрерывно распределенные по ее объему (массе) или поверхности.

Внешние силы, действующие на жидкость, разделяют на массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы в соответствии со вторым законом Ньютона пропорциональны массе жидкости или, для однородной жидкости, ее объему. К ним относятся сила тяжести и силы инерции переносного движения, действующая на жидкость при относительном ее покое в ускоренно движущихся сосудах или при относительном движении жидкости в руслах, перемещающихся с ускорением.

Поделив массовую силу на массу, в правой части закона Ньютона получим ускорение равное единичной массовой силе.

Поверхностные силы непрерывно, распределены по поверхности жидкости и при равномерном их распределении пропорциональны площади этой поверхности. Эти силы обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или же воздействием других тел (твердых или газообразных), соприкасающихся с данной жидкостью. Как следует из третьего закона Ньютона, с такими же силами, но в противоположном направлении, жидкость действует на соседние с нею тела.

В общем случае поверхностная сила ΔR, действующая па площадке ΔS , направлена под некоторым углом к ней, и раскладывается на нормальную ΔР и тангенциальную ΔТ составляющие (рис. 1.7). Первая называется силой давления, а вторая - силой трения.

1.4.Давление жидкости.

Отношение поверхностной силы к площади, на которую она действует, дает напряжение поверхностной силы, которое также можно разложить на нормальную и касательную составляющие.

В общем случае давление в данной точке равно пределу, к которому стремится отношение силы давления ΔР к площади ΔS, на которую она действует, при стремлении ΔS к нулю.

Гидростатическим давлением в покоящейся жидкости называется напряжение сжатия:

р = lim ΔР / ΔS (2.1)

ΔS→0

Если сила давления ΔР равномерно распределена по площадке ΔS то, среднее давление определяют по формуле

р= ΔР / ΔS. (2.1)

Касательное напряжение в жидкости, т. е. напряжение трения, обозначается буквой τ и выражается подобно давлению пределом

τ = lim ΔT / ΔS (2.3)

ΔS→0

1.5.Абсолютное и избыточное давление. Разряжение.

1.5.1.Давление, измеренное от абсолютного нуля, называют абсолютным. В технике отсчитывают давление от абсолютного условного нуля, за который принимается давление атмосферного воздуха на поверхности земли, равное примерно одной атмосфере или 1 кГ/см2=105 Па. Расположение абсолютного нуля в атмосфере относительно земной поверхности может быть определено по формуле основного гидростатического закона при условии, что мы принимаем плотность воздуха постоянной и равной ρ = 1,25 кг/м2.

h= Р/ρg = 105/(1,25*9,81) = 8154 м.

1.5.2. Давление, измеренное от атмосферного давления Рат, называют избыточным Ризб или манометрическим, потому что его измеряют различными приборами в том числе манометрами.

Абсолютное давление равно

Рабс = Ратизб

1.5.3. Вакуумом или разряжением называется недостаток давления до атмосферного. Вакуум определяется, как разность между атмосферным давлением и абсолютным, если абсолютное меньше атмосферного.

Рвак = Рат - Рабс

Рассмотрим подробнее соотношения между абсолютным и избыточным давлением.

Обычное выражение для гидростатического закона: Р= Ро+ ρgh.

1.6.Использование пьезометра.

Прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, например, как у Торричелли, называется пьезометр. Один конец присоединяется к точке, где измеряется давление, другой конец обычно соединен с атмосферой.

1.6.1. Использование пьезометра.

10.1. Прибор для измерения давления на основе прозрачной трубки, называется пьезометр. Один конец присоединяется к точке, где измеряется давление, другой конец обычно соединен с атмосферой. (рис.2).

По закону о сообщающихся сосудах в резервуаре и в трубке, когда они открыты, жидкость под действием атмосферного давления – Ратм устанавливается на одном горизонтальном уровне (рис.2).

11. Свободной поверхностью называется поверхность раздела жидкости и газа.

Величина абсолютного давления, например, в измеряемой точке 2 будет равна

Величина избыточного давления в точке 2 будет равна

где Ро = Ратм – давление над уровнем свободной поверхности жидкости в баке, Ризб2 – избыточное давление в точке измерения в точке 2.

12. Уровни равного давления параллельны свободной поверхности.

13. Горизонтальные плоскости, проведенные по уровням равного давления, называются: 1)поверхностями равного давления или 2)пьезометрическими плоскостями.

14.Пьезометрической высотой называется заглубление точки измерения относительно пьезометрической плоскости.

На рисунке таких плоскостей три: пьезометрические плоскости, соответствующие давлению над свободной поверхностью, давлению в точке 1 и в точке 2.

15. Если резервуар закрыть герметичной крышкой, и накачать под нее давление, так что давление в резервуаре увеличится Ро > Ратм, уровень жидкости в пьезометре поднимется выше уровня свободной поверхности.

Пьезометрическая плоскость, соответствующая атмосферному давлению, поднимется над свободной поверхностью жидкости на величину: .

Величина абсолютного давления в измеряемой точке 1 будет равна

Рабсатм + Ризб

Величина избыточного давления будет отсчитываться от пьезометрической плоскости, соответствующей атмосферному давлению:

.

16. Если резервуар закрыть герметичной крышкой, и откачать из-под нее давление, так что давление над свободной поверхностью уменьшится Ро < Ратм, уровень жидкости в пьезометре под действием атмосферного давления опустится ниже уровня свободной поверхности на величину

Примем положение пьезометрической плоскости, соответствующей атмосферному давлению, за начало отсчета.

16.1. Для точек, лежащих выше этого уровня, будет иметь место разряжение, и избыточное давление берется со знаком минус

а) например, величина давления на свободной поверхности будет равна

Рабс = Ратм Р= Ратм ρgh = Р0

б) Величина абсолютного давления в точке 1 будет равна

б) Величина избыточного давления будет отсчитываться от пьезометрической плоскости, соответствующей атмосферному давлению:

.

Поскольку отрицательных давлений не бывает, минус при значении избыточного давления означает, что это недостаток до атмосферного давления.

16.2.Для точек, лежащих ниже уровня пьезометрической плоскости с атмосферным давлением/

в) абсолютное давление в точке 2 будет равно разности

б) Для точек, лежащих ниже уровня атмосферного давления избыточное давление положительно, так как разность.

Величина избыточного давления будет отсчитываться также от пьезометрической плоскости, соответствующей атмосферному давлению:

.


1.7.Единицы измерения.

В международной системе единиц (СИ) основные механические единицы: метр длины, килограмм-массы и секунда. За единицу давления в принят Паскаль. Паскаль это давление, вызываемое силой в один Ньютон, равномерно действующий на нормальной к этой силе поверхности площадью один квадратный метр. Применяют и укрупненные единицы: килопаскаль (кПа) и мегапаскаль (МПа):

1 Па=1 Н/м2=10-3 кПа=10-6 МПа.

В технике в настоящее время продолжают применять систему единиц МКГСС, основные единицы которой: метр, килограмм-сила, секунда. За единицу давления в МКГСС принят 1 кГс/см2, эта величина получила название техническая атмосфера. Соотношение между этими единицами следующее

1 Па = 0,102*10-4 кГс/см2.

1 кГс/см2 = 98066,5 Па

Также используется система физических величин СГС (сантиметр, грамм-масса, секунда). В СГС сила является производной величиной, для ее определения используется второй закон Ньютона

F = m*a = 1 г*1 см/с2 = 1 г*(см/с2)/с2 = 1 дина.

Соотношение между одной диной и Ньютоном равно: 1 дин = 1*10—5 Н.

Соответственно в СГС применяются единицы давления при действии силы в 1 дин на 1 см2 площади. Соотношение между единицами давления в СГС и СИ

1 дин/см2 = 0,1 Па.

Внесистемной единицей, но часто употребляемой единицей измерения давления является бар. Бар (по гречески — тяжесть) примерно равная одной атмосфере.

Соотношение между баром, Паскалем и технической атмосферой:

1 бар = 105 Па=1,02 кГ/см2.

Значение атмосферного давления зависит от высоты над уровнем моря и от состояния воздушной атмосферы. За нормальное атмосферное давление на уровне моря принята физическая атмосфера равная 1,033 кГс/см2 , обозначаемая, как 1 атм.

Соотношения между этой единицей и Паскалем

1 атм =101325Па ≈ 1*105Па

1.8. Пример гидравлической системы.

Структура агрегатов: энергосиловая, управляющая и информационная часть.

К энергосиловой части относится насосная установка, исполнительные механизмы, вторичная и первичная клапанная аппаратура.

К управляющей части относится гидрораспределители, система сервоуправления.

К информационной части относятся устройства отображения информации, манометрические точки, приборы контроля работы двигателя, расходомеры.

В насосную установку входят: двигатель, насос и система управления насосом.

Исполнительные механизмы, состоят из гидроцилиндров, связанных с рычажными механизмами, гидромоторов с редукторами.

Гидрораспределители служат для направления и распределения рабочей жидкости от насоса, системы управления гидрораспределителями бывают механические (ручные), гидравлические, электрические и дистанционные.

Примеры использования гидравлических и пневматических систем.

1. Гидропривод экскаватора.

2. Пневмопривод тормозной системы автомобиля

3. Пневмосистема подкачки воздуха в бак подводной строительно-дорожной машины.

Рекомендуемая литература.

  1. Некрасов Б.Б., Руднев О.В. Байбаков, Кирилловский Ю.Л., Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика.

  2. Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. М., Машиностроение, 1971 г.,

  3. Лабораторный курс гидравлики, насосов и гидропередач. Под ред. С.С.Руднева и Л.Г.Подвиза. –М., Машиностроение, 1974 г.

  4. Некрасов Б.Б. Гидравлика и ее применение на летательных аппаратах. – М., Машиностроение, 1967 г.

  5. Сборник задач по машиностроительной гидравлике. Под ред. И.И.Куколевского и Л.Г.Подвиза.-М., Машиностроение, 2010 г.

  6. Френкель Н.З. Гидравлика. – М.,Л., ГЭИ, 1956 г.

2 - я лекция, 2012 г.

2.1. Свойства капельных жидкостей: плотность и вязкость, единицы измерения.

2.2. Свойства капельных жидкостей: сжимаемость,

температурное расширение, испаряемость, силы поверхностного натяжения.

2.3. Основные свойства газов

2.1. Основные свойства капельных жидкостей

Основная система единиц, применяемая в настоящее время это система СИ. Основными механическими единицами системы СИ являются: длина, измеряемая в метрах, масса, измеряемая в кг, время, измеряемое в секундах.

1. Плотностью называется масса вещества, содержащаяся в единице объема. Различают абсолютную и относительную плотность. Абсолютная плотность для однородной жидкости равняется величине массы М жидкости в объеме V, поделенной на величину этого объема V

ρ = М/V. (2.1)

Плотность измеряется в системе СИ в кг/м3, плотность пресной воды при 4ºС составляет ρв = 1000 кг/м3 , морской воды ρмв = 1025 кг/м3, плотность рабочей жидкости МГ-30 при 20 ºС ρрж = 880 кГ/м3, плотность воздуха – ρвз = 1,25 кг/м3.

Относительной плотностью называется отношение плотности жидкости при заданной температуре к плотности воды при температуре 4 °С, поскольку масса 1 л воды при 4 °С равна 1 кг. Относительная плотность обозначается δ .

δ = ρ/ρв.

Например, если 1 л бензина при 20 °С имеет массу 730 г, а 1 л воды при 4 °С - 1000 г, то относительная плотность бензина будет равна 0,73.

Относительная плотность для ртути δрт = ρртв = 13600/1000 = 13,6, для воздуха δвз = ρвзв = 0,00125, для рабочей жидкости- масла на минеральной основе δж = ρжв = 880/1000 = 0,88

2. Удельным весом называют вес единицы объема жидкости. Для однородной жидкости удельный вес равняется величине веса G жидкости, поделенной на величину объема V, который она занимает

γ = G/V (2.2)

Удельный вес измеряется в системе СИ в Н/м3.

В системе СИ удельный вес воды при 4ºС составляет γ = ρв*g = 1000*9,81 = 9,81*103 Н/м3, удельный вес рабочей жидкости МГ-30 при 20 ºС составляет γ = 880*9,81 = 8,64*103 Н/м3.

Связь между удельным весом γ и плотностью ρ
G = Мg, γV= ρVg, γ = ρ g (2.3)

В технической системе МКГСС – длина в метрах, основная единица – сила в килограммах силы(кГс), время в секундах.

Удельный вес воды в системе МКГСС равен γв = 1000 кГс/м3, а рабочей жидкости γрж = 880 кГс/м3.

Если жидкость неоднородна, то формулы (2.1) и (2.2) определяют средние значения удельного веса или плотности.

3. Вязкость жидкости.

Вязкостью жидкости называется способность сопротивляться деформации (сдвигу ее слоев).

Трение при движении вязкой жидкости было открыто Ньютоном, он высказал гипотезу о возникновении касательных напряжений между слоями жидкости.

Вязкость есть свойство противоположное текучести: в сравнении с водой более вязкие жидкости, такие как рабочие жидкости для гидросистем, являются менее текучими, более вязкими.

Кроме обычных подвижных жидкостей существуют очень вязкие жидкости, сопротивление малым деформациям которых значительно, но в состоянии покоя равно нулю. По мере увеличения вязкости такая жидкость все больше похожа на твердое тело. К таким жидкостям относится асфальт. Если бочку с горячим асфальтом опрокинуть, он весь вытечет за некоторое время и примет форму лепешки, с течением времени по этой лепешке можно будет ходить, а при ударе она разлетается на куски.

Для медленной деформации обычной жидкости необходимы весьма малые силы, при быстрой деформации жидкость подобно твердому телу оказывает значительное сопротивление. Но как только движение жидкости прекращается, это сопротивление исчезает.

При течении вязкой жидкости из-за тормозящего влияния неподвижного дна и трения слои жидкости будут двигаться с разными скоростями, значения которых возрастают при удалении от твердого дна (рис. 2.1). Скорость V тем меньше, чем ближе слой жидкости к неподвижной стенке, при у = 0 , V = 0.

Рассмотрим два слоя жидкости, двигающиеся на расстоянии Δу. Слой А движется со скоростью V, слой В со скоростью V + ΔV. Из-за разности скоростей слой В сдвигается относительно слоя А на величину ΔV(за единицу времени). Величина ΔV является абсолютным сдвигом слоя В, а отношение Δυ/Δy – относительный сдвиг или градиент скорости. При сдвиге аналогично явлению сдвига в твердых телах появляются касательные напряжения τ.

Ньютон получил зависимость между касательным напряжением и деформацией

τ = μ(Δυ/Δy) .

При стремлении величины Δy→0 слои будут бесконечно сближаться и можно перейти к дифференциалам.

Закон Ньютона о трении в жидкости :

τ = μ(dυ/dy) (2.4).

Коэффициент пропорциональности μ в формуле для определения касательного напряжения в жидкости называется динамической(абсолютной) вязкостью и характеризует сопротивляемость жидкости сдвигу.

Экспериментально этот закон был подтвержден нашим соотечественником профессором Н.П. Петровым в 1883 г.

Из закона трения выражаемого уравнением (2.4), следует, что напряжения трения возможны только в движущейся жидкости, вязкость проявляется при течении жидкости, в покоящейся жидкости касательные напряжения считаются равными нулю.

Сила сопротивления сдвигу Т называется силой внутреннего трения, при постоянстве касательного напряжения на поверхности S. Эта сила выражается формулой Ньютона

Т = τS = ± μ (dυ/dy)S , (2.2)

где μ — тот же коэффициент пропорциональности, что и в формуле для касательного напряжения в жидкости. Знак перед значением силы выбирается в зависимости от знака градиента так, чтобы сила имела положительное значение.

Размерность динамической вязкости можем получить из формулы для касательного напряжения

[μ] = [τ]/[(dυ/dy)] (2.3).

В системе СИ единица динамической вязкости называется «Паскаль- секунда».

В системе СГС единица динамической вязкости называется «Пуаз» в честь французского врача Пуазейля, исследовавшего законы движения крови в сосудах. 1 Пуаз = 1 (дина*сек)/см2.

Размерность


Система

Единица динамической вязкости

Перевод

СИ

1 Па*с =

1(Н/м2)*с

СИ → СГС

1 Па*с =10 Пуаз

СГС

(сантиметр, грамм массы, секунда)

1 Пуаз(1П) =

1 (дин*с)/см2

СГС → СИ

1 Пуаз(П) =

0,1 Па*с

Наряду с понятием динамической вязкости в гидравлике используют понятие кинематической вязкости.

Кинематической вязкостью называется отношение динамической вязкости к плотности

υ= μ/ ρ (2.4).

В размерности кинематической вязкости отсутствуют единицы силы, ее легко измерить с помощью приборов носящих название вязкозиметров.

Единицей измерения кинематической вязкости с системе СИ является м2/с, например вода при t = 20°С имеет кинематическую вязкость 10-6 м2/с. В системе СГС единица измерения кинематической вязкости равна 1 см2/с и называется Стокс(Ст) в честь английского ученого Стокса, сотая доля стокса называется сантиСтоксом (сСт).

Размерность

Система

Единица кинематической вязкости

Перевод

СИ

1 м2

СИ → СГС

1 м2/с = 104 см2/с(Стокс) =

=106 сСт - сантиСтокс.

СГС

(сантиметр, грамм массы, секунда)

1 см2/с(Ст)= 1 Стокс,

10-2Ст = 1 сСт

СГС → СИ

1 Ст = 10-4 м2/с 1 сСт = 10-6 м2


Рабочая жидкость на минеральной основе МГ-30 имеет вязкость при t = 20°С равную 150 сСт = 150 мм2/с = 1,5Ст = 1,5 см2/с = 1,5е-4 м2/с.

Вязкость капельных жидкостей при увеличении температуры уменьшается. Вязкость газов, с увеличением температуры возрастает. Объясняется это различием молекулярного строения. В жидкостях молекулы расположены гораздо ближе друг к другу, чем в газах, и вязкость вызывается силами молекулярного сцепления.

Эти силы с увеличением температуры уменьшаются, поэтому вязкость падает. В газах вязкость обусловлена, главным образом, беспорядочным тепловым движением молекул, интенсивность которого увеличивается с повышением температуры. Поэтому вязкость газов с увеличением температуры возрастает.

Обычно влияние температуры на вязкость оценивается с помощью экспериментальных графиков в справочной литературе. Однако, влияние температуры и давления на вязкость жидкостей можно оценить с помощью экспоненциальных зависимости, связывающей вязкость и температуру, а также давление и температуру.

Вязкость рабочей жидкости при увеличении температуры уменьшается, при этом теряется смазывающая способность рабочей жидкости. Возникает износ, прогорание трущихся поверхностей насосов и подшипников, что может привести к авариям. Допустимый верхний предел применения рабочей жидкости ВМГЗ(зимнее) равен 65ºС, вязкость 8 сСт, РЖ –МГ-30(летнее) 80 ºС.

Зависимость вязкости от давления проявляется при давлениях в несколько десятков МПа. С увеличением давления вязкость большинства жидкостей возрастает.

Например, если вязкость воды при давлении 1 атм и 20 ºС принять за единицу, при той же температуре и давлении 100 МПа она вырастет в 4 раза.

Наиболее распространенным является вискозиметр Энглера, который представляет собой цилиндрический сосуд, окруженный водяной ванной определенной температуры с насадком, встроенным в дно. Градус Энглера, назван по имени немецкого химика Энглера, у нас он называется внесистемная единица условной вязкости жидкостей или градус ВУ, и применяется в технике для оценки вязкости жидкостей.

Для измерения условий вязкости приняты градусы Энглера (°Е), которые представляют собой показания вискозиметра при 20, 50 и 100°С и обозначаются соответственно °E20;°E50 и °E100 .

Значение вязкости в градусах Энглера, например, °E20 есть отношение времени истечения tж через отверстие вязкозиметра с объемом V = 200 см3 испытуемой жидкости к времени истечения такого же количества дистиллированной воды tвод = tвод = 51,6 с при 20 °С.

1 °E20 = tж/tвод.

Для пересчета градусов Энглера в стоксы в случае минеральных масел применяют формулу

υ =0,07З*(°Е) — 0,063/(°Е) (2.3а)

4. Сжимаемость - свойство жидкости изменять объем под действием давления, характеризуется коэффициентом объемного сжатия, который представляет собой относительное изменение объема ΔV=V1-V2 при изменении давления ΔР на единицу давления, V1 – первоначальный объем, V2 – конечный объем .


(2.4)

Коэффициент объемного сжатия в системе СИ измеряется в м2/Н или Па-1.

Увеличению давления Р21 соответствует уменьшение объема V2<V1, поэтому в формуле имеется знак минус. Рассматривая конечные приращения ΔР = Р2 - Р1 и

ΔV= V2 V1 и, считая βр постоянным, получаем,


V2 V1 *(1βр *ΔP) , (2.5)


учитывая равенство ρ = m/V (1.4), находим приближенную формулу для определения плотности при увеличении давления
ρ2 ρ1 /(1βр *Δр) (2.6)


где ρ2 и ρ1 — плотности при Р2 и Р1.

Величина обратная коэффициенту βр, называется объемным модулем упругости (ОМУ)

К = 1 / βр (2.7).

Изменение объема может быть выражено через ОМУ

V2 V1 *(1—ΔP/К) (2.8)

Размерность ОМУ – Н/м2 такая же, как размерность давления.

Используя объемный модуль упругости К и разности объемов можно записать в зависимость, которую называют обобщенным законом Гука для жидкости.

, (2.9)

Объемный модуль упругости К уменьшается с увеличением температуры и возрастает с повышением давления.

Для воды он составляет при атмосферном давлении приблизительно Кв = 2000 МПа. Следовательно, при повышении давления на 0,1 МПа (1 ат) объем воды уменьшается всего лишь на 1/20 000(одна двадцатитысячная) часть.

Такого же порядка модуль упругости и для других капельных жидкостей, например, для минеральных масел он равен приблизительно Крж = 1200 МПа. Приведенные выше значения ОМУ являются значениями изотермического модуля.

Различают адиабатный и изотермический модуль упругости. Первый больше второго приблизительно в 1,5 раза и проявляется при быстротекущих процессах сжатия жидкости без теплообмена.

Используя эти значения ОМУ по формуле (2.7), можно определить: при повышении давления воды до 40 МПа ее плотность повышается лишь на 2 %, а минерального масла на 3 %. Поэтому в большинстве случаев капельные жидкости можно считать практически несжимаемыми, т. е. принимать их плотность не зависящей от давления, но при очень высоких давлениях и упругих колебаниях сжимаемость жидкостей следует учитывать.

5. Температурное расширение характеризуется коэффициентом объемного расширения, который представляет собой относительное изменение объема при изменении температуры Т па 1°С и постоянном давлении, т. е.

βт = (2.8)

Рассматривая разности ΔV= V2 V1 и ΔТ= Т2 — Т1 и, принимая βт постоянным, получаем объем жидкости при изменении температуры

V2 = V1 (1+ βт*ΔТ),

учитывая равенство ρ = М/V, находим приближенную формулу для определения плотности жидкости при изменении температуры

ρ2 = ρ1/(1+ βт*ΔТ), (2.9)

где ρ2 и ρ1 — плотности при температурах Т2 и Т1.

Для воды коэффициент βт возрастает с увеличением давления и температуры, при при 100 и 10 МПа, βт = 700*10-6. Для минеральных масел в диапазоне давлений от 0 до 15 МПа βт можно принимать равным 800*10-6.

Например, объем гидросистемы составлял 1200 л=1,2 м3, исходная температура была 20°С. Гидросистема во время работы нагрелась до 40°С, разница в температуре составила 20°С,

V2 = V1 (1+ βт*ΔТ) = 1,2[1+800е-6)*20] = 1,219 м3.

Объем увеличился на 1,219- 1,2 = 0,019м3 = 1,9л.

6. Сопротивление растяжению внутри капельных жидкостей по молекулярной теории может быть весьма значительно. При опытах с тщательно очищенной и дегазированной водой в ней были получены кратковременные напряжения растяжения до 23—28 МПа. Однако технически чистые жидкости, содержащие взвешенные твердые частицы и мельчайшие пузырьки газов, не выдерживают даже незначительных напряжений растяжения. Поэтому считают, что напряжения растяжения в капельных жидкостях невозможны.

7.Силы поверхностного натяжения. Свободная поверхность жидкости горизонтальна по всей поверхности раздела между жидкой и газообразной средой, кроме точек вблизи твердой стенки сосуда, где проявляются молекулярные силы взаимодействия твердого стенок с жидкостью рис.2.4а. На поверхности раздела жидкости и воздуха действуют силы поверхностного натяжения, стремящиеся придать объему жидкости сферическую форму. Это явление проявляется также при выливании капли жидкости на твердую поверхность, рис.2.4б.

Поверхность у стенок сосуда искривлена (рис.2.4), и искривление сопровождается появлением дополнительного давления. Касательная к проекции сферической поверхности, направленная в сторону стенок трубки в зависимости от смачивания (рис.2г) или не смачивания (рис.2д) твердой поверхности жидкостью может иметь разный краевой угол θ, соответствующий смачиванию или его отсутствию.

Трубка небольшого диаметра, в которой отсутствует горизонтальный участок поверхности раздела, называется капилляром. В этой трубке дополнительное давление может поднимать уровень жидкости (при смачивании) или опускать его.


Дополнительное давление, возникающее в капилляре определяется формулой

Р = 2σ/ r,

где σ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости; r — радиус сферы, которая формируется в соответствие со свойствами жидкости и воздействием внешней среды и приблизительно равна радиусу капилляра.

Коэффициент σ, размерность которого Н/м, имеет следующие значения для разных жидкостей, граничащих с воздухом при температуре 20°С:

для воды 73*10-4,

для спирта 22*10-4,

для керосина 27*10-4,

для ртути 460*10-4.

С ростом температуры поверхностное натяжение уменьшается.

Высоту подъема смачивающей жидкости или опускания несмачивающей жидкости в стеклянной трубке диаметром d определяют по формуле для полусферического мениска

h = 2σ/dρg. (2.10)

С явлением капиллярности приходится сталкиваться при использовании стеклянных трубок в приборах для измерения давления, а также в некоторых случаях истечения жидкости. Большое значение приобретают силы поверхностного натяжения в жидкости, находящейся в условиях невесомости. Этим явлением объясняется всасывающее действие промокательной бумаги.
8. Испаряемость свойственна всем капельным жидкостям, однако интенсивность испарения неодинакова и зависит от условий, в которых они находятся. Испарение – процесс перехода жидкости в газообразное состояние.

Если объем пространства над жидкостью достаточно велик, испарение продолжается до исчезновения жидкости (выкипание чайника). Если объем недостаточно велик, часть молекул жидкости конденсируется и возвращается в жидкое состояние и испарение продолжается до наступления динамического равновесия, когда число испаряющихся и конденсирующихся молекул выравниваются. В окружающем жидкость пространстве устанавливается давление, называемое давлением насыщенных паров Рн.п. Одним из показателей характеризующих испаряемость жидкости, является температура ее кипения при нормальном атмосферном давлении; чем выше температура кипения, тем меньше испаряемость жидкости.

Давление насыщенных паров Рн.п. может быть выражено в функции температуры. Чем больше давление насыщенных паров при данной температуре, тем больше испаряемость жидкости. С увеличением температуры давление Рн.п. увеличивается, однако у разных жидкостей в разной степени (рис. 2.6).

Для сложных жидкостей, представляющих собой многокомпонентные смеси, если бензин или рабочая жидкость, содержат растворенный воздух, давление Рн.п. зависит не только от физико-химических свойств и температуры, но и от соотношения объемов жидкой и паровой фаз. Давление насыщенных паров возрастает с увеличением части объема занятого жидкой фазой. Обычно значения упругости паров сложных жидкостей даются для отношения паровой и жидкой фаз, равного 4: 1.

Максимально возможный в рабочей жидкости вакуум ограничен при данной температуре давлением насыщенных паров

Рвмакс = Рат – Рнп.

9. Растворимость газов в жидкостях характеризуется количеством растворенного газа в единице объема жидкости, различна для разных жидкостей и изменяется с увеличением давления.

Относительный объем газа, растворенного в жидкости до ее полного насыщения, можно считать по закону Генри прямо пропорциональным давлению, т. е.

Vг = k Vж (P/P0),

где Vг — объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям, (Р0, Т0); Vж — объем жидкости; k — коэффициент растворимости; Р —давление жидкости.

Коэффициент k имеет следующие значения при 20 °С: для воды 0,016, для керосина 0,13, для минеральных масел 0,08 — 0,1.

При понижении давления выделяется растворенный в жидкости газ, причем интенсивнее, чем растворятся в ней. Это явление может отрицательно сказываться на работе гидросистем.

10.Смазывающая способность – свойство жидкости обеспечивать наименьшее трение и износ металлических поверхностей деталей под нагрузкой. При пуске механизмов или при разрыве несущего слоя масляной пленки, неровности соприкасающихся деталей контактируют друг с другом, возникают значительные силы трения, если смазывающая способность не будет обеспечена. Оценка смазывающей способности затруднительна, но принимается во внимание при конструировании изделий гидравлики.

2.3. Основные свойства газов

Газы отличаются от жидкостей тем, что при большом давлении они могут быть сжаты до очень малого объема. Если предоставить любому газу большее пространство, чем он занимает, происходит расширение газа, а его давление уменьшается.

Закон, связывающий между собой давление и объем газа, впервые был открыт в начале 17-го века году Р.Бойлем, а позже Мариоттом.

Согласно этому закону давления одного и того же количества газа при постоянной температуре обратно пропорциональны объемам, занимаемым этим количеством газа.

P1V1= P2V2 - сonst (2.7)

Кривая зависимости Р от V называется изотермой.

Давление газа зависит также и от температуры. Гей-Люсак в 1816 году нашел, что эта связь выражается формулой при Р – const, закон Гей –Люсака(изобарный)

V=V0(1+αt), (2.8)

где V0 – объем газа при 0°С, t – температура в градусах Цельсия, α =1/273 – термический коэффициент расширения. В это уравнение давление не входит, так как оно при сравниваемых состояниях газа одинаково.

Клайперон, связав законы Бойля-Мариотта и Гей-Люсака, получил уравнение состояния идеальных газов

(P1V1) /Т2 = (P2V2 )/Т2 (2.9),

где (PV) /Т = В – удельная газовая постоянная, различная для различных газов.

Реальные газы также соответствуют этому закону при обычных плотностях и при небольшом сжатии газа. При очень быстром сжатии (нагревание) или расширении (охлаждение) - (адиабатические процессы) Бойля-Мариота выражается степенной зависимостью

РVη = P1V1η, (3)

где η = Cр/Cv - теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме.

Показатель степени равен η=1,4 для воздуха, для других газов он близок к этому значению.



3-я лекция.

3. ГИДРОСТАТИКА-1

3.1. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.

3.2.Основное уравнения гидростатики.

3.3. Дифференциальные уравнения Эйлера равновесия жидкости и их

интегрирование для простейшего случая.

3.4. Пьезометрическая высота. Вакуум. Измерение давления. Приборы для измерения давления

3.1. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором рассматриваются законы равновесия жидкости и их практические приложения.

В гидростатике жидкость рассматривается в состоянии относительного покоя. Под относительным покоем понимается состояние жидкости, при котором отсутствуют перемещения отдельных частиц жидкости по отношению друг к другу, при этом жидкость перемещается, как твердое тело.

Движение жидкости в этом случае, можно назвать переносным. Характерным для этого случая движения будет постоянство объема жидкости при переходе от одного состояния к другому.

Частным случаем относительного покоя является состояние абсолютного покоя, под которым подразумевается покой жидкости относительно земли.

Пример абсолютного покоя: жидкость находится в резервуаре неподвижном относительно земли. Пример относительного покоя: жидкости находится в покое относительно железнодорожной цистерны, которая движется вместе с цистерной прямолинейно с ускорением.

В гидростатике учитываются следующие допущения.

1. В неподвижной жидкости возможен лишь один вид напряжения — напряжение сжатия, т. е. гидростатическое давление.

2. В неподвижных жидкостях не действуют касательные напряжения, из поверхностных сил действуют только силы давления, действие сил вязкости не учитывается.

4. На внешней поверхности рассматриваемого объема жидкости силы давления всегда направлены по нормали внутрь объема жидкости и являются сжимающими.

5. Внешняя поверхность жидкости обычно рассматривается, как поверхность раздела с газообразной средой или твердыми стенками, но может рассматриваться и как поверхность объема, мысленно выделяемого из объема жидкости, для чего применяется «принцип затвердевания».

6. На жидкость, находящуюся в состоянии относительного покоя действуют массовые силы: силы тяжести и силы инерции переносного движения.

3.1а. Закон Паскаля. Свойство гидростатического давления в точке.

"Величина гидростатического давления в точке покоящейся жидкости не зависит от направления площадки, для которой она вычислена".

Выделим в неподвижной жидкости элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям и равными δx, δy и δz, грани этого тетраэдра перпендикулярны соответствующим координатным осям х, у, z. (рис.3.1).

Площади граней будут равны

площадь наклонной грани

Рассмотрим действие на тетраэдр внешних массовых и поверхностных сил.

Массовые силы пропорциональны массе жидкости или, если жидкость однородна, ее объему, поэтому выберем произвольное направление массовой силы: из вершины трехгранного угла координатной оси. Как мы увидим далее, составляющие массовой силы в уравнениях равновесия умножаются на δx, δy, δz, при стремлении объема тетраэдра к нулю, δx, δy, δz стремятся к нулю и в