Лекции (много вордовский файлов) (Кинемат.сплошн.среды,с.5-12)

Посмотреть архив целиком

Раздел 1.

КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ


Задание движения сплошной среды.
Индивидуальная и местная производные


По определению, знать движение сплошной среды – значит знать движение всех ее точек. Индивидуальные точки сплошной среды можно задавать значениями их начальных координат. Координаты точек в начальные моменты времени   t0   будем обозначать:   x0, y0, z0,   а координаты точек в любой момент времени –   x, y, z.   Для любой точки, выделенной координатами   x0, y0, z0,
можно написать закон движения:


x = x (tx0y0, z0),


y = y (tx0y0, z0),

(1.1)

z = z (tx0y0, z0).



Если в (1.1)   x0y0, z0   – фиксированы, а   t   – переменно, то мы получим закон движения одной точки среды. Если   x0y0z0   – переменны, а   t   – фиксировано, то мы получим распределение точек среды в пространстве в данный момент времени.

Координаты   x0y0, z0   (индивидуализирующие точки среды) и время   t
являются переменными Лагранжа.

Предположим теперь, что нас интересует не само движение индивидуальных точек среды, а то, что происходит в разные моменты времени в данной точке пространства. Пусть наше внимание концентрируется на определенной точке пространства, в которую попадают различные частицы сплошной среды. Это составляет суть точки зрения Эйлера на изучение движения среды. Геометрические координаты пространства   x, y, z   и время   t
переменные Эйлера. Движение среды, по Эйлеру, задается полем скоростей:


wx = wx (t, x, y, z),


wy = wy (t, x, y, z),

(1.2)

wz = wz (t, x, y, z)



(w =i wx +j wy + wz   задание картины поля скоростей).


Если в (1.2)   x, y, z   – фиксированы, а   t   – переменно, то мы получим изменение со временем скорости в данной точке пространства для различных частиц, попадающих в эту точку. При фиксированном  t  и переменных  x, y, z
эти функции дают распределение скоростей в определенный момент времени.

Распределение скоростей можно задать с точки зрения как Лагранжа [w (tx0, y0, z0)],   так и Эйлера   [w (t, x, y, z)].   Если распределение скорости задано по Лагранжу, то изменение скорости   w   в единицу времени   t   частицы среды найти просто. Оно будет равно производной   dw / dt.

Как вычислить ту же величину, если распределение скорости задано по Эйлеру:   w (t, x, y, z)?   Очевидно, что для этого надо перейти от переменных Эйлера к переменным Лагранжа:


w (t, x, y, z) = w t, x (t, x0, y0, z0), y (tx0, y0, z0), z (tx0y0, z0)



и воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции. Тогда


где   x / t;   y / t;   z / t   – производные, берутся при постоянных   x0,  y0,  z0    и,
следовательно, являются компонентами скорости wx, wy, wz.


П
оэтому

Т
аким образом, мы получили выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных. Вводя некоторый условный вектор с проекциями

п
редставим (1.3) так:

Производная   dw / dt,   характеризующая изменение скорости со временем
в данной точке сплошной среды, называется полной, или индивидуальной, или субстанциональной.

Производная   w / t,   характеризующая изменение скорости в данной точке пространства   x, y, z,   называется местной, или локальной.
Она характеризует нестационарность среды (если среда стационарна, то
w / t = 0).

Величина   (w)w,   образующаяся за счет изменения координат точки, соответствующей передвижению (конвекции) ее в поле физической величины, называется конвективной производной. Она характеризует неоднородность поля в данный момент времени.

В
общем случае выражение

можно рассматривать как некий оператор индивидуальной производной. Этот оператор может применяться к скалярным функциям, а также к тензорным величинам, связанным с движущейся частицей.



Линии тока и траектории


Если движение жидкости задано в переменных Лагранжа, то геометрическое представление потока дается траекториями. В переменных Эйлера для геометрической интерпретации потока пользуются линией тока, т. е. такой линией, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости совпадает с касательной к этой линии. Совпадение не только линий тока для различных моментов времени, но и их траекторий имеет место в случае установившегося, или стационарного, движения. При нестационарном течении линии тока, построенные для различных моментов времени, не будут совпадать как между собой, так и с траекториями. Из определения линии тока следует, что в каждой ее точке нормальная составляющая скорости равна нулю (т. е. через л


Рис.1. Нулевая линия тока



инию тока нет перетекания). Таким образом, между двумя произвольными линиями тока количество текущей жидкости постоянно. Если через поверхность обтекаемого тела жидкость не проходит, то эта поверхность является поверхностью тока. Для плоского обтекания это будет линия тока, которая называется нулевой линией тока (рис. 1).

Т
ак как касательная к линии тока совпадает с вектором скорости, то уравнение линии тока можно записать следующим образом:


где    – элемент линии тока;  w   – скорость;

и

ли

или

В
общем случае через любую точку в данный момент времени можно провести лишь одну линию тока. Но существуют некоторые особые точки, в которых это правило нарушается: в них линии тока пересекаются и, следовательно, вектор скорости должен иметь разные направления, что при конечном значении скорости невозможно. Поэтому в особых точках скорость должна быть равна либо нулю, либо бесконечности. На рис. 1 критическими точками являются   А   и   А1   – в них скорость равна нулю.



Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки.
Первая теорема Гельмгольца


Возьмем бесконечно малую частицу сплошной среды и найдем распределение скоростей в этой частице. Под бесконечно малой частицей будем понимать совокупность точек среды с координатами   ηi + dηi = ηi + ρi,
у


Рис. 2. Скоростное поле сплошной среды

даленных от центра   0   на бесконечно малые расстояния   ρ.   Пусть скорость точки   0   есть   w 0,   а любой точки   01
w 1   (рис. 2).

Р
ассмотрим разложение скоростей в окрестности точки   0   с точностью до малых первого порядка по      (ряд Тейлора). Скорость среды   w   в окрестности точки является регулярной функцией точки (регулярная функция – это функция без разрывов), что позволяет применить разложение в степенной ряд:

где

У
равнение (1.8) выражает скорость любой точки   01   бесконечно малой частицы сплошной среды через скорость ее центра   w0,   производные от   w   по координатам в центре и координаты рассматриваемой точки.

З
апишем уравнение (1.8) в тензорном виде:

где   i   – оператор Гамильтона;   эk    – векторы базиса   (1 =i;   э2 =j;   =).


В
ведя сопряженный тензор   k wi ,   запишем предыдущее уравнение в следующем виде:

В
уравнении (1.9) присутствуют члены, содержащие антисимметричный тензор   wki   и симметричный тензор   lki :

Таким образом, скорость точек частицы сплошной среды разбита на три составляющие, первая из которых   w0     (wx0 , wy0 , wz0)   не зависит от координат и, следовательно, представляет скорость поступательного движения всей частицы. Выясним кинематический смысл остальных составляющих.

Р
ассмотрим вторую составляющую, для которой запишем таблицу антисимметричного тензора:

К
аждый член этой таблицы выглядит следующим образом:

С
учетом (1.11) таблицу можно представить так:

О
тсюда видно, что члены таблицы являются угловыми скоростями вращательного движения частицы сплошной среды относительно начальной точки, т. е. вторая составляющая в (1.9) характеризует вращательное движение частицы вокруг полюса с угловой скоростью

Для выяснения кинематического смысла третьего слагаемого в (1.9) запишем таблицу симметричного тензора   lk­i   второго ранга:

В
ходящая в выражение (1.12) совокупность величин   Śij   носит название тензора скоростной деформации. Компоненты   Śxx, Śyy, Śzz,   расположенные вдоль главной диагонали, называются диагональными, остальные являются недиагональными.

Диагональные компоненты представляют собой скорость относительного удлинения (сжатия) отрезков среды; недиагональные – скорость перекосов элементарного объема (они равны половине скорости скашивания первоначальных прямых углов, образованных отрезками среды).

Н
айдем скорость относительного объемного расширения элементарного жидкого объема в данной точке движущейся жидкости:

И
так, сумма диагональных компонент характеризует относительное изменение объема в единицу времени. Следовательно, из уравнения (1.9) вытекает следующая теорема Гельмгольца: любое движение элементарного объема жидкости можно в данное мгновение рассматривать как результат сложения двух движений – к в а з и т в е р д о г о (состоящего из поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг него) и д е ф о р м а ц и о н н о г о. Уравнение (1.9) перепишем в таком виде:

Р
ассмотрим частный случай идеальной (невязкой) и несжимаемой (ΔV = 0) среды (вода). Для идеальной жидкости вязкость между слоями отсутствует,
а   Śxy, Śxz   и т. д. равны нулю, так как скоса углов нет   (ΔV = 0),   т. е.

и


(divw = 0   – условие несжимаемости деформируемой среды.)


Вихревая линия. Теоремы о вихрях


Если в пространстве, занятом жидкостью, существуют области, в которых ω  0,   т. е. внутри их имеет место вращение частиц жидкости, то движение в таких областях называется вихревым (например, в области пограничного слоя, образующегося вокруг твердого тела, обтекаемого потоком вязкой жидкости). В пограничном слое по направлению нормали к поверхности тела скорость резко возрастает, и поэтому в нем   ω  0   (∂/ ∂n  0).

Л
иния называется вихревой, когда в каждой ее точке касательная совпадает с направлением вектора угловой скорости  ω.   Дифференциальное уравнение вихревой линии получается из соотношения  ωdl = 0   и имеет вид

Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой   C
(не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Из определения вихревой линии и вихревой поверхности следует, что в любой точке таких линий и поверхностей нормальная составляющая угловой скорости равна нулю.

П
отоком вектора угловой скорости   J   через поверхность      называют интеграл:


где   ωn   – проекция угловой скорости вращения на нормаль к поверхности   .


Другая теорема Гельмгольца – о вихрях: поток вектора угловой скорости через замкнутую поверхность всегда равен нулю. Докажем ее.

Действительно, путем непосредственных вычислений из формул
(1.11) получим, с одной стороны, что

а

с другой, – что если поверхность замкнутая, то, согласно теореме Остроградского (о преобразовании объемного интеграла в поверхностный),


где   V   – объем, ограниченный поверхностью   .



Но тогда, согласно (1.18), находим, что

Рис. 3. Вихревая трубка



Из формулы (1.19) вытекает важное свойство вихревых трубок. Выделим
в вихревой трубке некоторую замкнутую поверхность (рис. 3), образованную двумя любыми поперечными сечениями   (1  и  2)   и боковой поверхностью. Так как поток вектора угловой скорости по боковой поверхности равен нулю, то, согласно (1.19):

Отсюда, вследствие произвольного выбора сечений   1   и   2 ,   получаем, что поток вектора угловой скорости в данный момент времени по длине элементарной вихревой трубки не меняется. Следовательно, этот поток есть величина, характерная для всей вихревой трубки, и ее (величину) называют интенсивностью (или напряжением) вихревой трубки.

Если величина вектора угловой скорости постоянна по поперечному сечению вихревой трубки, то из (1.20) получим


ω1n 1 = ω2n 2 = ωin i = const.


На основе этого сделаем следующий вывод: сечение вихревой трубки не равняется нулю, так как в подобном случае   ω  ,   что физически неверно. Таким образом, вихревая трубка не обрывается внутри среды. Но, однако, можно выделить только четыре типа вихревых трубок, т. е. когда «вихревой шнур» (вихревая трубка): 1) начинается и заканчивается на свободной поверхности жидкости; 2) начинается на свободной поверхности жидкости, а заканчивается на твердой стенке; 3) начинается и заканчивается на твердой стенке; 4) является замкнутым.

В идеальной жидкости вихри не могут изменять свою интенсивность, они как бы «обречены» существовать вечно, не имея возможности возникать и вырождаться. В реальной жидкости (из-за трения) вихри зарождаются, а затем диффундируют, т. е. вырождаются.

Интенсивность трубки, так же как и вихрь скорости, не поддается непосредственному измерению. Сравнительно просто можно определять скорости частиц жидкости. Поэтому возникает вопрос об установлении связи между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей в жидкости. Для решения данного вопроса введем характерную для поля скоростей величину – циркуляцию скорости вдоль некоторой линии.

Ц
иркуляцией вектора
по некоторому контуру называется вычисленный вдоль контура криволинейный интеграл от проекции вектора на касательную к контуру:

Т
огда связь между интенсивностью вихревой трубки и распределением скоростей дается известной теоремой Стокса: интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, один раз опоясывающему вихревую трубку:

Теорема Стокса сводит количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение скорости специальными приборами не представляет трудности, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл по замкнутому контуру, является операцией более точной, чем дифференцирование распределения скоростей  (необходимое для вычисления   rotw)   и последующее суммирование.

Из этой теоремы вытекает важное следствие: если в какой-либо области течение безвихревое   (w = 0,   rotw = 0),   т. е. потенциальное, то циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, проведенному в этой области, равно нулю  (Г = 0).  Из рассмотренной теоремы, кроме того, следует, что конечная циркуляция скорости определяет эффект действия вихрей на поле скоростей в потоке жидкости.


Циркуляция скорости – скляр


Из (1.19) и (1.22) следует, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна нулю, а это, в свою очередь, означает, что линии тока потенциального движения не могут быть замкнуты. Если бы они были замкнуты, то все элементы криволинейного интеграла вектора скорости   w  dr,   взятого по
с

замкнутой линии тока, имели бы один знак и циркуляция вдоль такой линии не обратилась бы в нуль. Поэтому в объеме, ограниченном со всех сторон твердыми стенками, не может существовать безвихревое движение, так как на стенках нормальная составляющая скорости должна равняться нулю (стенки непроницаемы). Основное следствие: в замкнутом объеме либо среда находится в покое, либо имеет место вихревое движение.

12




Случайные файлы

Файл
Fizika(formuli).doc
76305-1.rtf
85852.rtf
56446.rtf
24201.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.