Лекции (много вордовский файлов) (Осн.урав.,с.28-36)

Посмотреть архив целиком

величина давления в какой‑нибудь одной точке, в основном вдалеке от обтекаемого тела.

Начальные условия фигурируют лишь в нестационарных задачах и представляют собой задание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый «начальный» момент времени.


Элементы теории подобия


Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье–Стокса и уравнения энергии прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. Будем считать, что два физических явления подобны, если отношения сходственных физических величин одинаковы в сходственные моменты времени во всех сходственных точках пространства. Другими словами, физические явления подобны, если любое из них может быть получено из другого путем изменения каждой из характеризующих явление величин в одинаковое число раз. Следовательно, подобные физические явления описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями, отличающимися только постоянными и одинаковыми при всех членах множителями. Если эти дифференциальные уравнения записать в безразмерном виде, то для двух подобных течений эти уравнения окажутся совершенно идентичными. Эти соображения являются основой теории подобия.

П
риведем к безразмерному виду уравнение Навье–Стокса (2.26'), для чего введем масштабы переменных величин, которым припишем индекс «нуль». Тогда (2.26') можно представить следующим образом:

Р
азделив все это выражение на величину   0w02 / l0,   пропорциональную конвективной силе инерции, получим:

Это уравнение содержит безразмерные комплексы, являющиеся критериями подобия, которым присвоены следующие названия:


l0 / (w0 t0) = Sh   –  число Струхаля, показывающее отношение локальной силы инерции, вызванной неустановившимся характером движения, к конвективной силе инерции;

(l0 f0) / w02 = Fr   –  число Фруда, показывающее отношение силы веса (объемной внешней силы) к конвективной силе инерции, т. е. во сколько раз потенциальная энергия больше кинетической;

P0 / 0 w02) = Eu   –  число Эйлера, показывающее отношение силы гидродинамического давления к конвективной силе, т. е. во сколько раз давление больше скоростного напора;

 / (l0 0 w0) = (l0 w0) / v0 = Re   –  число Рейнольдса, показывающее отношение сил вязкости и конвективных сил.


При получении указанных критериев все действующие на жидкость силы сравнивались с конвективными силами инерции. Можно, конечно, сравнивать и другие пары сил. Тогда получим и некоторые иные критерии, но все они будут выражаться через те же критериальные комплексы. Использование таких новых критериев не имеет практического смысла. Моделировать надо по главным силам, к которым в подавляющем числе задач и относятся конвективные силы инерции.

Д
ля сжимаемой жидкости число Эйлера может быть выражено так:

г
де

т. е. в случае газовых течений появляются два дополнительных критерия: 1) число Пуассона   ( Cp / Cv);   2) число Маха   (M =w / a).

В
ыполнить условия полного подобия очень трудно. Если натурный объект работает в какой‑либо среде, то при переходе к модели (с меньшими размерами) надо изменять скорость исходя из следующих требований:

Одновременное выполнение этих требований невозможно. Однако в большинстве случаев добиваться полного подобия и не надо. Обычно в каждой конкретной задаче некоторые члены уравнения (2.26') либо равны нулю, либо малы.


П р и м е р  1.  Для самолета число Фруда не имеет значения, так как сила тяжести, действующая на частицы воздуха, обтекающего самолет, мала. Если самолет движется с небольшой скоростью   (M   1),   то сжимаемости воздуха не происходит и поэтому нет необходимости в выполнении требования   M = idem.   Наконец, в случае установившегося движения самолета отпадает и требование   Sh = idem.   Здесь достаточно удовлетворить условия геометрического и кинематического подобий и требование   Re = idem.   Испытание модели такого самолета в аэродинамической трубе необходимо вести при очень большой скорости потока   [wм = wн (lн / lм)].   Размеры
lм   не должны быть очень маленькими, иначе   wм   может возрасти настолько, что нельзя будет пренебречь сжимаемостью, т. е. нарушится одно из принятых условий
(
M  1).   Поэтому дозвуковая аэродинамическая труба должна иметь относительно большие размеры. Известный способ обойти эту трудность – построить трубу с высоким давлением воздуха, в которой малый размер модели   [при   Re =  / (l0 0 w0)] компенсируется повышенной плотностью. Иногда модель испытывают не в воздухе, а во фреоне, используя малую вязкость последнего.


П р и м е р  2.  Исследуют сверхзвуковой летательный аппарат с большим сопротивлением давления. В этом случае сопротивление трения (вязкость) не играет роли, т. е. нет необходимости выдерживать условия   Fr = idem   и   Sh = idem. Основным определяющим критерием является   M = idem   при    = idem.   Это позволяет производить моделирование в сверхзвуковой трубе малых размеров.


П
 р и м е р  3.
  Рассмотрим корабль не очень обтекаемой формы. Он порождает большие волны, и в таком случае сопротивление трению имеет второстепенное значение по сравнению с волновым сопротивлением (затратой энергии на преодоление силы тяжести воды). Определяющим критерием является число Фруда. При испытании модели корабля в гидроканале скорость ее движения следует принять меньшей, чем у натуры, в корень квадратный раз из отношения линейных размеров:


Иногда нельзя добиться приближенного подобия, выдерживая постоянство одного критерия. Например, при моделировании хорошо обтекаемого летательного аппарата необходимо, чтобы   M = idem   и   Re = idem,   так как сопротивления давлению и трению в данном случае соизмеримы. В подобном случае нужна сверхзвуковая труба больших размеров.

Для приближенного моделирования судна обтекаемой формы требуется выполнить условия:   Fr = idem,     Re = idem.

Р
ассмотрим теперь уравнение энергии (2.40). Приведем его к безразмерному виду, причем за масштаб температуры примем разность температур набегающего потока (вдали от тела) и стенки тела   T0 = T  Tст .
Также исследуем установившийся режим (учет нестационарного члена дает, как и раньше, число Струхаля). Тогда (2.40) можно представить в следующем виде:

П
осле деления этого уравнения на общий множитель левой части получим:

В данном уравнении все виды тепловых потоков выражены в долях от конвективного тепла.

Тепловое подобие двух процессов осуществляется при наличии равенства в обоих течениях полученных трех безразмерных комплексов:   1) P0 / (0 Cp T0); 2)  / (l0 0 Cw0);   3) (w0) / (l0 0 Cp T0).   Исследуем их.


1
‑й
 комплекс:


где      –   температурный критерий   [ = w02 / (CT0)],   который пропорционален   w02   и учитывает отношение работы сжатия, осуществляемой динамическим давлением, к конвективному тепловому потоку. Поэтому он существен при больших скоростях потока.


2‑й комплекс (выражает собой отношение тепла, переносимого теплопроводностью к конвективному потоку):



где    / (Cp   –   число Прандтля   (Pr),   характеризующее связь между теплоемкостью, теплопроводностью и вязкостью.


П
роизведение чисел Прандтля и Рейнольдса называют числом Пекле, или критерием Пекле (Pe):

Он широко используется при моделировании процессов теплообмена.


3
‑й
 комплекс (представляет собой отношение рассеиваемого тепла к конвективному потоку и не приводит к новым комплексам):


Скорость распространения малых возмущений
в
 жидкости и газе


Чтобы выяснить особенности движения газа очень важно сравнить скорость его движения со скоростью, характерной для данного газа и зависящей от его термодинамического состояния, – т. е. со скоростью распространения малых возмущений.

П
од малым возмущением понимают такое изменение начальных параметров среды, при котором абсолютная величина изменения параметра неизмеримо мала по сравнению с его исходным значением, т. е.   P' << P0, ' << 0   (P0,  0 – давление и плотность невозмущенного газа;   P',  ' – прибавка к   P0   и   0   за счет возмущений). Из курса физики известно, что скорость распространения малых возмущений в газе определяется следующим образом:

Формула (2.46) верна и для движущегося газа, только в этом случае под величиной a следует понимать «местную» скорость распространения малых возмущений относительно движения газа в данной точке потока. К числу наиболее широко наблюдаемых явлений распространения малых возмущений относится распространение звука, заключающееся, как известно, в распространении волн слабого сжатия и разрежения. В связи с этим величину
a   называют скоростью звука.

П
ринимая процесс распространения звука изотермическим и учитывая, что при таком процессе   P = c,   dP / d  c = P /    получим

Если предположить, что процесс распространения звука осуществляется настолько быстро, что можно пренебречь влиянием процесса отвода тепла и считать процесс распространения звука адиабатическим, то

Ф

ормула (2.47) была предложена Ньютоном, а формула (2.48) – Лапласом. Эксперименты подтверждают правильность второй из них. Применяя формулу Клайперона, перепишем (2.48) в виде

Д
ля воздуха    = 1,4;     = 29.   Тогда

при   T = 273 К (0 ºС)   a = 332 м / с.

В
кинетической теории газов показано, что скорость звука имеет тот же порядок, что и средняя квадратичная скорость свободного пробега молекул газа:
Для воздуха    = 1,4,   а   а   составляет 70% от   vs.

В модели несжимаемой жидкости   ( = const)   a  ,   т. е. всякое изменение давления в одном месте потока должно мгновенно сказаться в любом другом месте. В одних случаях такое предположение можно принимать в расчет, в других – от него приходится отказываться и пользоваться моделью «сжимаемая жидкость – газ», имеющей конечную скорость распространения звука.

Т
аким образом, из (2.46) следует, что скорость звука определяет упругое свойство жидкостей и газов. Упругость капельных жидкостей характеризуется модулем объемной упругости (модулем сжатия), равного отношению изменения давления к относительному изменению объема:

Т
ак как относительное изменение объема равно относительному изменению плотности, т. е.   – (dV / V) = d / ,   то:

Д
ля воды   k = 19,6 · 108 (H / м2),   тогда

Скорость распространения малых возмущений является важной характеристикой потока сжимаемой среды. В зависимости от того, будут ли скорости движения частиц среды меньше или больше скорости звука, принципиально различными будут и происходящие в среде явления. Это может быть продемонстрировано на следующих двух примерах.

П

Рис. 6. Обтекание
дозвуковым потоком


 р и м е р  1.
  Рассмотрим источник возмущений, расположенный в точке   A0.   Если на источник набегает дозвуковой поток   (w < a),   то волны будут сноситься вниз по потоку: при этом центр волн перемещается со скоростью   w < a,   а сами волны распространяются со скоростью звука   а.   За некоторое время   t   центр волны сместится на расстояние   wt,   а радиус волны будет   r = at,   причем   at  wt   (рис. 6).  Таким образом, возмущения в дозвуковом потоке распространяются и против течения. При этом область возмущения опережает тело, а форма потока изменяется еще до того, как частицы газа придут в соприкосновение с телом.

Е

Рис. 7. Обтекание
сверхзвуковым потоком


сли же скорость
  w > a,   то звуковые возмущения будут сноситься вниз по потоку, т. е. сферические волны будут находиться внутри конуса, огибающего сферу (рис. 7). Этот конус называется конусом возмущения (конусом Маха). Область вне конуса не подвергается возмущению телом, ее можно назвать зоной молчания. Возмущения в сверхзвуковом потоке распространяются по линиям, образующим конус возмущения. Эти линии называются линиями возмущения (или характеристиками). Угол    наклона образующей определяется из условия sin  = a / w = 1 / M.   Течения при сверхзвуковом возмущении в отличие от дозвукового потока охватывают область внутри конуса возмущений, т. е. переход скорости звука связан с концентрацией возмущений. Поверхность конуса представляет оптическую неоднородность, достаточно заметную при исследовании специальными оптическими приборами. Эта оптическая неоднородность (изменение показателя преломления) объясняется изменением плотности среды под действием сжатия или разрежения в звуковой волне. Измеряя углы Маха по фотоснимкам, можно найти число Маха   (M = 1 / sin ),   а зная скорость звука, – вычислить и абсолютную скорость потока (w = a M).   Заметим, что нормальная составляющая скорости   wn   равна скорости звука.


П
 р и м е р  2.
  Рассмотрим истечение газа из баллона большой емкости через суживающийся патрубок в некоторую камеру. Пусть вначале разность давлений между баллоном и камерой была невелика и скорость истечения через патрубок не превосходила скорости звука. Будем теперь медленно понижать давление в камере, тогда скорость истечения   w   начнет повышаться. Создаваемые в камере возмущения (уменьшением давления) будут распространяться против течения из камеры через патрубок в баллон до тех пор, пока скорость в патрубке не достигнет скорости звука. После этого возмущения уже не смогут проникать в баллон, так как они будут сноситься потоком, имеющим ту же скорость, что и скорость распространения возмущений в газе. Продолжающееся понижение давления не отразится на изменении скорости истечения, и она будет постоянна и равна скорости звука   (w = a = const).   Это явление носит название запирания потока. Если где‑нибудь в потоке скорость газа w станет равна местной скорости звука   a, то такая скорость   (w = a*)   называется критической скоростью. Критическими будут и соответствующие значения:   T*,  P*   и      Выразим критическую скорость через параметры торможения, тогда уравнение энергии для критического сечения примет вид

о
ткуда


где   a0   – скорость звука в адиабатическом и изоэнтропическом заторможенном газе.

Рассмотренные нами два примера показывают, что характер развивающихся в потоке явлений взаимосвязан с величиной отношения скорости в данной точке потока к местной скорости звука. Эта величина называется числом Маха   (M = w / a).

Отношение же скорости потока в данной точке к одинаковой для всего потока в целом критической скорости называется скоростным коэффициентом (  w / a*).


Изоэнтропические формулы
(газодинамические функции)


Н
аряду с одной функцией состояния  (энтальпия  h)  введем в рассмотрение и другую его функцию – энтропию   S,   определяемую дифференциальным соотношением


где   dq   – элементарный приток тепла.


Е
сли вдоль траектории движения частицы выполняется равенство   dS = 0,
т. е. энтропия сохраняет свою величину, то такое движение называется изоэнтропическим. Из термодинамики известно, что соотношение удельной энтропии в конечной форме имеет следующий вид (с точностью до константы):

И
з (2.50) легко вывести   (при   S = 0)   уравнение изоэнтропической адиабаты, или изоэнтропы (адиабаты Пуассона), описывающее адиабатическое движение идеального совершенного газа:


Вообще говоря, из второго начала термодинамики следует, что энтропия является неубывающей функцией времени. Возрастание энтропии в замкнутой, адиабатической системе показывает, что внутри этой системы происходят необратимые процессы преобразования механической энергии в тепло, сопровождаемые потерями (например, потери на внутреннее трение в неидеальных жидкостях и газах). Мы будем рассматривать такие потери механической энергии газа при его прохождении сквозь скачок уплотнения. Здесь движение, являясь адиабатическим, окажется неизоэнтропическим.

И
спользование параметра   M   в изоэнтропических формулах помогает отразить параметрическую связь между температурой, плотностью, давлением и скоростью газа в различных течениях потока при адиабатическом изоэнтропическом движении. Для вывода таких формул воспользуемся уравнением (2.43) в виде


Р
азделив это уравнение на   CPT,   будем иметь:

О
кончательно получим функцию температуры:

Д
алее – из уравнений изоэнтропы

а
также из уравнения состояния

п

олучим функцию давления:

Т
огда

т
. е. функция плотности

Д
ля скорости звука

Эти формулы постоянно встречаются при расчетах газовых потоков.

П
окажем, что в формулах (2.52) и (2.53) как частные случаи при   M = 0
содержатся формулы несжимаемой жидкости:    = 0   и   P + w2 / 2 = const. Условие   M = w / a = 0   соответствует случаю, когда

п
ри    = const,   а не   w = 0,   что означало бы отсутствие течения. Разложим правые части (2.52) и (2.53) в степенные ряды при малых   M.   Тогда

О
тсюда при   М = 0   получим формулы несжимаемой жидкости. Кроме того, учитывая в приведенных формулах разложения еще и вторые члены, найдем порядок ошибки, которую делают, рассматривая при малых   М   движущийся газ как несжимаемую жидкость. Полагая    = 0 = const,   откидывают по сравнению с единицей члены, старший из которых имеет величину   ½ M2.
Если, например, допустить относительную ошибку из‑за неучета сжимаемости газа, составляющую   1%,   то это равносильно требованию   ½ M2  0,01   или
М  0,14,   что для воздуха при нормальных условиях   (Т = 288 К;
а = 340 м / с)   приводит к ограничению скорости   (w  0,14 · 340  50 м / с).
При скорости   w = 100 м / с   ошибка доходит до   4%.   При этом, как видно из предыдущих формул, относительная ошибка для давлений в 2 раза меньше, чем для плотностей.

36




Случайные файлы

Файл
17149.rtf
105232.doc
diplom.doc
73954.rtf
159147.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.