ШПОРЫ ПО МЖГ (ШПОРЫ ПО МЖГ)

Посмотреть архив целиком

§1Физические модели жидкой среды.

1). Однородная - не учитывает внутреннее строение вещества.

2). Непрерывная, сплошная – длина свободного пробега молекул много меньше характерного размера явлений. Оценивается коэф. Кнудсена (l – длина свободного пробега молекулы; L – характерный размер явления). Среда сплошная если Kn<0.01. По Чепману , где - кинематическая вязкость, - средняя скорость теплового движения молекулы. Далее a – местная скорость звука, k – показатель адиабаты. тогда , обозначим (d – характерный размер, - динамическая вязкость, - плотность). Число Рейнольдса Re характеризует отношение сил инерции к силам трения, число Маха M=v/a. Итого .

3). Совершенная – уравнение состояния (Уравнение Клайперона).

4). Сжимаемость: несжимаемая жидкость или сжимаемый газ.

5). Вязкость: идеальная (невязкая) или вязкая. Показатели вязкости см. пункт 2.

6). Однофазная или двухфазная среда.

§2 Методы кинематического описания движения жидкой частицы.

1). Метод Лагранжа – описывает движение одной и той же частицы по ее траектории в разные моменты времени. При t = t0 выбрали частицу M(x0,y0,z0). В произвольный момент времени уравнеие траектории имеет вид. Y & Z аналогично. Скорость .

2). Метод Эйлера – исследует изменение параметров состояния в конкретных точках пространства с течением времени: Vx =f1(x,y,z,t). Метод Эйлера использует линии тока.

§3 Траектория, линии тока струйка тока, вихревой шнур.

Траектория – воображаемая линия, вдоль которой движется материальная точка .

Линия тока – линия, в каждой точке которой, в рассматриваемый момент времени век­тор скорости течения совпадает по направлению с касательной в данной точке.

Для установившегося (стационарного) течения линии тока и траектория совпадают.

Уравнение линий тока.

Отсюда следует, что .

Струйка тока – масса жидкости ограниченная совокупностью линий тока, образующих поверхность тока, и двумя сечениями, обычно перпендикулярными скорости.

Вихревой шнур – масса жидкости вращающаяся по законам твердого тела.

§4 Малая жидкая частица (МЖЧ).

Жидкая частица – частица, внутри которой с наперед заданной точностью можно считать распределение параметров линейным.

Примем точка О(xo,yo,zo) – полюс МЖЧ, движется в пространстве со скоростью

Vo(vx0, vyo, vzo) и точка A(xa,ya,za), при этом (ya,za - аналогично). Для нахождения Vxa разложим скорость в ряд Маклорена до величин второго порядка малости.

Игрековые и зетовые составляющие скорости выглядят аналогично.


§5 Теорема Гельмгольца о движении малой частицы.

Движение МЖЧ можно представить как совокупность поступательного движения вместе с полюсом, вращательным движением вокруг оси, проходящей через полюс и деформационным движением состоящим из деформации отрезка и прямого угла.

1). Линейные деформации МЖЧ /скорость линейной деформации/.

Выбираем систему координат, чтобы отрезок ОА лег на ось в начальный момент времени. В произвольный момент времени t отрезок ОА уехавший в пространстве проецируем на ось х в отрезок О1А1. В точке О скорость Vхо, в точке А - (dx, dy = 0). Деформация укорочения вдоль оси х ; Скорость относительной деформации отрезка .

2). Деформация прямого угла.

Выберем систему координат так, чтобы стороны прямого угла АОВ совпали с осями координат в начальный момент времени t0 (АО//Ox, OB//Oy). В момент времени t1 угол АОВ меняет свое положение и проецируется на координатную плоскость в угол A1O1B1 В данный момент времени скорость точки О(Vxo, Vyo), точки А , точки В . Точка а – место пересечения прямой //Ох, проходящей через точку О1 и прямой //Oy, проходящей через точку А1. Угол – угол между прямой ОА и О1А1 . Аналогично .

, , .

3). Вращательное движение.

. Пусть на данный момент нет поступательного и деформационного движения, тогда

.

, , .

Примем и считаем теорему доказаной.

§6 Классификация движений жидкости.

1). Потенциальное движение. - движение, в котором отсутствует вращательная составляющая. Тогда по теореме Гельмгольца и т.д… Тогда существует некая функция координат (x,y,z) – потенциал скорости. И скорости равны первым частным производным.

2). Вихревое (непотенциальное) движение

3). Установившееся (стационарное) – в данной точке потока параметры с течением времени не изменяются (любой параметр) = 0. Но d/dt(любой параметр) не = 0.

4). Прямолинейное движение (линии тока - \\ прямые).

5). Одномерное движение – движение при котором все параметры зависят от одной координаты (может быть не прямолинейным).

6). Плоское движение – если в области течения можно выбрать такую плоскость, что во всех плоскостях ей \\ картина течения будет повторяться.

7). Осесимметричное движение - если в области течения можно выбрать прямую, такую что во всех плоскостях через нее проходящих картина течения будет повторяться.

8). Трехмерное (пространственное) движение.

§7 Уравнение неразрывности.

Догма: масса жидкости в объеме V за время t увеличится на количество проникающей в объем жидкости из вне.

Масса было через t стало . Втекло через S за t

По Остроградскому – Гауссу .

Т.к. в любом объеме этот интеграл равен 0 значит подынтегральное выражение = 0.

- 1ая форма уравнения неразрывности.

Для установившегося движения .

Раскроем понятие дивергенции:

- 2ая форма записи уравнения неразрывности.

Если жидкость несжимаема ( = const) тогда div (V)=0.

§8 Уравнение расхода.

V1S;

G=M/t=VS; =

Ограничения: 1) ограничили трубкой тока

2) рассматриваем только установившееся течения: div(=0

тогда: =0 т.е. ++=0; Последний интеграл равен 0 т.к. Vn=0 <0 >0

3)одномерное течение (осредненное)

V1ncp1cpS1= V2ncp2cpS2

4) сечение перпендикулярно вектору скорости.

V1cp1cpS1= V2cp2cpS2=G

G=VS

Вторая теорема Гельмгольца.

Вдоль тонкого вихревого шнура интенсивность (S) этого шнура остается постоянной.

=;

div(=+ +==0

Тогда =0

Или - +==0 (последний интеграл равен 0)+=0

1S1=2S2; т. к. 1=const в сечении 1; 2=const в сечении 2.

§9 О циркуляции вектора скорости по замкнутому контуру.

Г=

Г====

Циркуляция по замкнутому контуру равна удвоенной сумме интенсивностей вихрей охваченных этим контуром.

VOA=VxO+dx/2; VAB=VyO+dx+dy/2; VBC=VxO+dy+dx /2; VOC=VyO+dy/2

dГ=VOAdx+VABdy-VBCdx-VOCdy=VxOdx+(dx)2/2+Vydy+dxdy+(dy)2/2-Vxdx-dydx-(dx)2/2-V­ydy -(dy)2/2=(-)dydx=2zdS

Г==2 Г=2iSi
1 Для несжимаемой жидкости
=0 т. к.
Vx=; Vy=; Vz=

=0= - гармоническая функция.

2 Кинетическая энергия массы несжимаемой жидкости при потенциальном движении минимальна.

3 Потенциал движения несжимаемой жидкой частицы не может иметь экстремум. Он может быть достигнут только на границе.

4 Проекция скорости как и сама скорость не имеет максимумов внутри области потенциального течения.

5 Свойство единственности значений потенциала. Значение внутри замкнутой области определяется: а) однозначно, если задано на границе; б) с точностью до константы, если задано на границе.

Гидростатика.

§10 Классификация сил.

1Физическая природа: силы тяжести, трения, инерции, электромагнитные.

2По отношению к рассматриваемому объему: внутренние, внешние

3По характеру приложения: вектор плотности массовых сил ; вектор плотности объемных сил ; т. к. m=V; fm=fm

§11 Поверхностные силы.

Силы приложенные к частицам поверхности S, ограничивающей рассматриваемый объем V. Вектор плотности поверхностных сил - полное гидродинамическое давление. - главный вектор поверхностных сил.

§12 Общая формула для гидродинамического (гд) давления Pn.

Cвязь Рn c Px, Py, Pz. (Индекс означает внешнюю нормаль к площадке, в которой возникает давление).

На плоскости S через точку М проводим нормаль n. На продолжении нормали откладываем точку О из нее проводим оси \\ х, у, z. Они пересекают S в точках А, В,С соответс. Действующие силы:

1). Сила тяжести , ;

2). Сила инерции ;

3). Поверх. силы Еще ОВС = - АВСcos(n^x);

Равнодейс.. Устремим ON0 (стянем тэтраэдр к точке М), тогда […] = 0

. Для нахождения Рn надо знать тензор напряжений. За давление в данной точке принимают среднее арифметическое с обратным знаком от х, у, z в данной точке. p = -(х + у + z)/3 (*). В гидростатике при движении идеальной жидкости = 0 . Для (*) если жидкость идеальная ( = 0) и неподвижная (dV=0) с учетом формулы Ньютона найдем Рn.

Проекция Рn на х:

Проекция Рn на оси y, z . Подставим в формулу (*)

() .

§13 Уравнение движения в напряжениях.

Выделим в пространстве МЖЧ – кубик. К граням \\ оси у приложены силы –Px и Px+ Px/xx. Объем МЖЧ V=xyz, масса m=V.

Массовые силы

Это можно делать т.к. внутри МЖЧ изменение параметров линейное (частные произв.=const)

Это преобразование законно т.к. положение объема выбрано произвольно.

- второй закон Ньютона для единицы массы. Два слагаемых учитывают, что частица не одна (специфика жидкости).

Второй закон Ньютона в проекциях на оси


§14 Дифференциальные уравнения для покоящейся жидкости.

Если существует система координат, относительно которой жидкость находится в покое неподвижно относительно Земли то это Абсолютный покой. Если система координат движется с постоянным ускорением то это Относительный покой.

Абсолютный покой: v = 0 dv/dt = 0 dv/dn=0 =0

Тогда 2ой закон Ньютона в проекции на ось х В этом случае х=-р

+ ()

Проинтегрируем уравнение (). Ограничение: обычно массовые силы - силы тяжести они потенцальны функция U – потенциал силового поля массовых сил, такая что

+

Если жидкость несжимаема, то = const

§15 Основная формула гидростатики. Закон Паскаля.

Рассмотрим абсолютный покой в поле сил тяжести: , , .

Тогда U = gy + c1. Подставим это ур-е в последнее ур-е §5: p/ + gy = c2

P + gy = const - Гидростатический закон распределения давления.

В покоящейся несжимаемой жидкости давление линейно зависит от вертик. коорд.

Найдем const. Для свободной поверхности p0 + gy0 = p + gy p = p0 + gh – основная формула гидростатики или закон Паскаля. всякое изменение внешнего давления вызывает также изменеия во всех точках покоящейся жидкости.

Ратм = gdh – атмосферное давление; р0 – абсолютное давление (давление на границе) р0 – ратм = ризбыт – избыточное давление.

Если р0 < pатм, то ратм – р0 = рвак – вакуумметрическое давление

Если р0 = pатм, то р = ратм+ghп, где hп = ризм/g пьезометрическая высота, которая характеризует расстояние до поверхности при ратм. Отсюда Нп = hп + у = у + ризм/g - Пьезометрический напор Н = h + у = у + р0/g – гидростатический напор (высота столба жидкости).

§16 Теорема парности касательных напряжений.

H:

1

2 Ост. вращ.

=b;

Касательные напряжения в двух взаимноперпендикулярных плоскостях равны по величине и направленны к одной точке либо от нее (т-ма парности касательных напряжений.

§17 Связь касательного напряжения с производной скорости.

Для О2n: xy




§18 Cвязь нормального напряжения с полем скоростей.

1.Уравнение равновесия в проекциях АВ по Даламберу.

1 мас.

2инерц.

3пов. силы

Устремляем а к 0: 2=х-у

2.Равновесие призмы в ocях 45

В результате


3.Тогда х-у= 2

х-z=

3-(x+y+z)=6 -2

=-p+2-

=-p+2-

=-p+2-





Случайные файлы

Файл
83696.rtf
27604.rtf
74040-1.rtf
4749.rtf
1.doc