Проекции точки (579)

Посмотреть архив целиком

It`s help you! By Taras, Stavropol.

На местах попуска должны быть рисунки (плоскостей, эпюров и т.п.)


ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.



ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Сущность метода ортогонального прое­цирования заключается в том, что предмет проецируется на две взаимно перпендику­лярные плоскости лучами, ортогональны­ми (перпендикулярными) к этим плоско­стям..

Одну из плоскостей проекций H распо­лагают горизонтально, а вторую Vвертикально. Плоскость H назы­вают горизонтальной плоскостью проек­ций, V — фронтальной. Плоскости H и V бесконечны и непрозрачны. Линия пересечения плоскостей проекций называ­ется осью координат и обозначается OX. Плоскости проекций делят пространст­во на четыре двугранных угла — четверти.


Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций. Так как эти плоскости непрозрачны, то види­мыми для наблюдателя будут только те точки, линии и фигуры, которые располо­жены в пределах той же первой четверти.

При построении проекций необходимо по­мнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание пер­пендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.

На рисунке показаны точка А и ее орто­гональные проекции а1 и а2.

Точку а1 называют горизонталь­ной проекцией точки А, точку а2 — ее фронтальной проекцией. Каждая из них является основанием перпендику­ляра, опущенного из точки А соответ­ственно на плоскости H и V.

Можно доказать, что проекции точки всегда расположены на прямых, перпенди­кулярных оси ОХ и пересекающих эту ось в одной и той же точке. Действительно, проецирующие лучи Аа1 и Аа2 определя­ют плоскость, перпендикулярную плоско­стям проекций и линии их пересечения — оси ОХ. Эта плоскость пересекает H и V по прямым а1 аx и а1 аx,, которые образуют с осью OX и друг с другом прямые углы с вершиной в точке аx.

Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки a1 и a2, расположенные на прямых, пересекающих ось OX в данной точке под прямым углом, то они являются проекциями некоторой точки А. Эта точка определяется пересече­нием перпендикуляров, восставленных из точек a1 и a2 к плоскостям H и V.

Заметим, что положение плоскостей проекций в пространстве может оказаться иным. Например, обе плоскости, будучи взаимно перпендикулярными, могут быть вертикальными Но и в этом случае дока­занное выше предположение об ориентации разноименных проекций точек относи­тельно оси остается справедливым.

Чтобы получить плоский чертеж, состоя­щий из указанных выше проекций, плос­кость H совмещают вращением вокруг оси OX с плоскостью V, как показано стрелками на рисунке. В результате пе­редняя полуплоскость H будет совмещена с нижней полуплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полупло­скостью V.

Проекционный чертеж, на котором плос­кости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещены определенным об­разом одна с другой, называется эпю­ром (от франц. еpure – чертеж). На рисунке показан эпюр точки А .


При таком способе совмещения плоско­стей H и V проекции a1 и a2 окажутся расположенными на одном перпендикуля­ре к оси OX. При этом расстояние a1ax от горизонтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости V, а расстояние a2axот фронтальной проекции точки до оси OX равно расстоянию от самой точки А до плоскости H.

Прямые линии, соединяющие разнои­менные проекции точки на эпюре, усло­вимся называть линиями проекци­онной связи.

Положение проекций точек на эпюре зависит от того, в какой четверти находит­ся данная точка. Так, если точка В распо­ложена во второй четверти, то после совмещения плоскостей обе проек­ции окажутся лежащими над осью OX.


Если точка С находится в третьей чет­верти, то ее горизонтальная проекция по­сле совмещения плоскостей окажется над осью, а фронтальная — под осью OX. На­конец, если точка D расположена в чет­вертой четверти, то обе проекции ее окажутся под осью OX. На рисунке пока­заны точки М и N, лежащие на плоскостях проекций. При таком положении точка совпадает с одной из своих проекций, дру­гая же проекция ее оказывается лежа­щей на оси OX. Эта особенность отражена и в обозначении: около той проекции, с ко­торой совпадает сама точка, пишется за­главная буква без индекса.

Следует отметить и тот случай, когда обе проекции точки совпадают. Так будет, если точка находится во второй или чет­вертой четверти на одинаковом расстоя­нии от плоскостей проекций. Обе проекции совмещаются с самой точкой, если послед­няя расположена на оси OX.




































































ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.


Выше было показано, что две проекции точки определяют ее положение в про­странстве. Так как каждая фигура или тело представляет собой совокупность то­чек, то можно утверждать, что и две орто­гональные проекции предмета (при нали­чии буквенных обозначений) вполне опре­деляют его форму.

Однако в практике изображения строи­тельных конструкций, машин и различных инженерных сооружений возникает необ­ходимость в создании дополнительных проекций. Поступают так с единственной целью — сделать проекционный чертеж более ясным, удобочитаемым.

Модель трех плоскостей проекций пока­зана на рисунке. Третья плоскость, перпендикулярная и H и V, обозначается бук­вой W и называется профильной.


Проекции точек на эту плоскость будут также именоваться профильными, а обоз­начают их заглавными буквами или циф­рами с индексом 3 (aз, bз, cз, ... 1з, 2з, 33...).

Плоскости проекций, попарно пересека­ясь, определяют три оси: ОX, ОY и ОZ, которые можно рассматривать как систе­му прямоугольных декартовых координат в пространстве с началом в точке О. Сис­тема знаков, указанная на рисунке, со­ответствует «правой системе» координат.


Три плоскости проекций делят про­странство на восемь трехгранных углов — это так называемые октанты. Нумера­ция октантов дана на рисунке.

Как и прежде, будем считать, что зри­тель, рассматривающий предмет, находит­ся в первом октанте.

Для получения эпюра плоскости H и W вращают, как показано на рисунке, до совмещения с плоскостью V. В результа­те вращения передняя полуплоскость H оказывается совмещенной с нижней по­луплоскостью V, а задняя полуплоскость H — с верхней полуплоскостью V. При повороте на 90° вокруг оси ОZ передняя полуплоскость W совместится с правой полуплоскостью V, а задняя полупло­скость W — с левой полуплоскостью V.


Окончательный вид всех совмещенных плоскостей проекций дан на рисунке. На этом чертеже оси ОX и ОZ, лежащие в не подвижной плоскости V, изображены только один раз, а ось ОY показана дваж­ды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью H, ось ОY на эпюре совме­щается с осью ОZ, а вращаясь вместе с плоскостью W, эта же ось совмещается с осью ОX.

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— ОX, ОY, ОZ) указываться не будут.


















ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.


Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе­ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоу­гольных декартовых координат х, у и z.

Координату х называют абсциссой, у ординатой и zаппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от дан­ной точки до плоскости W, ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плос­кости H. Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все координаты которой положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i, j, k — единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = ОAxi+ОАyj + ОАzk ,где ОАХ, ОАУ, ОАгкоординаты векто­ра ОА



Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( Оax , Оay , Оaz ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, проти­воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме­тить, что для определения точки А доста­точно построить только три ребра парал­лелепипеда, например Оax , axa1 и a1А или Оay , aya1 и a1A и т. д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со­ответствующей координатой точки.


Однако построение параллелепипеда по­зволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.


Случайные файлы

Файл
14295-1.rtf
10469.rtf
23121-1.rtf
nalogovoe.doc
154407.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.