Краткое доказательство гипотезы Биля (85713)

Посмотреть архив целиком


Краткое доказательство гипотезы Биля


Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение:


Аxy= Сz/1/


не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, x, y и z при условии, что x, y и z больше 2.

Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:


Аx = Сz - Вy/2/


Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С.

Уравнение /2/ запишем в следующем виде:


Аx = (С0,5z) 2 - (В0,5y) 2 /3/


Обозначим:


В0,5y =V /4/

С0,5z =U /5/


Отсюда:


Вy =V2 /6/

Сz =U2 /7/

В = /8/

С = /9/


Тогда из уравнений /2/, /6/ и /7/ следует:


Аx = Сzy =U2-V2 /10/


Уравнение /10/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:


Аx = (U-V) ∙ (U+V) /11/


Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:


U-V=X /12/


Из уравнения /12/ имеем:


U=V+X /13/


Из уравнений /11/, /12/ и /13/ имеем:


Аx = X· (V+X+V) =X (2V+X) =2VХ+X2 /14/


Из уравнения /14/ имеем:


Аx - X2=2VХ/15/


Отсюда:


V=/16/


Из уравнений /13/ и /16/ имеем:


U= /17/


Из уравнений /8/, /9/, /16/ и /17/ имеем:


B = /18/

C = /19/


Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа А на число X, т.е. число X должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А. Другими словами, число А должно быть равно:


A = NX, /20/


где N - простое или составное целое положительное число.

Из уравнений / 18/ и /19/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел A и X: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений / 18/, /19/ и /20/ следует:


В= /21/

C= /22/


Обозначим:

P = /23/

Q = /24/


Тогда:


B = /25/

С = /26/


Из уравнений /23/ и /24/ имеем:


Q = /27/


Таким образом, из уравнений /26/ и /27/ следует:


С = /28/


Из анализа уравнений /25/ и /28/ следует, что поскольку разность между числами P и Q равна всего лишь:


Q - P = P + 1 - P = 1, /29/


то по меньшей мере одно из чисел В или С является дробным числом.

Допустим, что число В - целое число.

ПРИМЕРЫ: X=33 = 27; P = 53 =125; y=6.

По формуле /25/ имеем:


B = =.


Тогда:


при z=6: С = = - дробное число.

при z=5: С = = - дробное число.

при z=4: С = = - дробное число.

при z=3: С = = - дробное число.

при z=7: С = = - дробное число.

Очевидно, что если (am) 2 = a2m, то (am + 1) 2b2m,


где: a - целое число;

b - целое число.

Таким образом, одно из чисел В или С - дробное число. Следовательно, гипотеза Биля не имеет решения в целых положительных числах.


Случайные файлы

Файл
fizika.doc
113213.rtf
15496-1.rtf
2195.rtf
ref-20229.doc