Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора (85500)

Посмотреть архив целиком


Алгебраическое доказательство теоремы пифагора


Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:


С22 + В2, /1/


где: С - гипотенуза;

А и В - катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:


А2 = С22 /2/


Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B и С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:


А2= (C-B) (C+B) /3/


Используя метод замены переменных, обозначим:


C-B=M /4/


Из уравнения /4/ имеем:


C=B+M /5/


Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:


А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2 /6/


Из уравнения /6/ имеем:


А2 - M2=2BM /7/


Отсюда: B = /8/


Из уравнений /5/ и /8/ имеем:


C= /9/


Таким образом:


B = /10/

C /11/


Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2.

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.

Из изложенного следует:

Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).

Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.

Все числа являются пифагоровыми.

Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.



Случайные файлы

Файл
79711.rtf
91231.rtf
151579.rtf
56070.rtf
103396.rtf