Система счисления (48975)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Что такое система счисления?

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Сложение в различных системах счисления

Вычитание в различных системах счисления

Умножение в различных системах счисления

Деление в различных системах счисления


Что такое система счисления?


Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения:

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.


Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?


В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

  • в двоичной системе:  0,   1,   10,   11,   100,   101,   110,   111,   1000,   1001;

  • в троичной системе:         0,   1,   2,   10,   11,   12,   20,   21,   22,   100;

  • в пятеричной системе:     0,   1,   2,   3,   4,   10,   11,   12,   13,   14;

  • в восьмеричной системе: 0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   10,   11.

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:


Двоичная система

Четверичная система

Восьмеричная система

Десятичная система

Шестнадцатиричная система

1

1

1

1

1

10

2

2

2

2

11

3

3

3

3

100

10

4

4

4

101

11

5

5

5

110

12

6

6

6

111

13

7

7

7

1000

20

10

8

8

1001

21

11

9

9

1010

22

12

10

A

1011

23

13

11

B

1100

30

14

12

C

1101

31

15

13

D

1110

32

16

14

E

1111

33

17

15

F

10000

40

20

16

10


Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?


Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

  • для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

  • представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

  • возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

  • двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.


Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?


Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).


Перевод чисел из одной системы счисления в другую


Количество p различных цифр, употребляемых в позиционной системе определяет название системы счисления и называется основанием системы счисления – "p". Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:

N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ... (1.1)

здесь N – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p>1). Принято представлять числа в виде последовательности цифр:

= anan-1 ... a1a0 . a-1a-2 ...

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы (см. формулу 1.1), из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.








Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:



Ответ: 7510 = 1 001 0112   =  1138  =  4B16.

Перевод правильных дробей из десятичной системы счисления в недесятичную. Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь надо последовательно умножать на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе записывается в виде целых частей произведений, начиная с первого.

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:


Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную. Перевести 23.125102 с.с.


1. Переведем целую часть:

2. Переведем дробную часть:

3. Таким образом: 





2310 = 101112;

0.12510 = 0.0012.


Результат: 

23.12510 = 10111.0012.


Случайные файлы

Файл
20677.rtf
179048.rtf
56402.rtf
162979.rtf
26480-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.