Тригонометрия (85327)

Посмотреть архив целиком

Действительные числа:

Теорема: R - несчётное множество.

Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1)

X1=0,n11n12n13…n1k… m1{0,1,…,9}\{9,n11}

X2=0,n21n22n23…n2k… m2{0,1,…,9}\{9,n22}

……………………… ………………………

Xk=0,nk1nk2nk3…nkk… mk{0,1,…,9}\{9,nkk}

=0,m1m2…mk…  x1 x2 x3 …… xk

(0;1) Противоречие.

0<<1  R - несчётное множество.


Теорема: Q - Счётное множество.

Док-ть: Q+ - счётное, т.к. Q=Q-{0}Q+

Док-во:

Q+ - счётное множество, т.к. оно есть объединение счётного семейства счётных

множеств. Q- - Тоже, что и Q+ только все элементы множества отрецательные

. По теореме: Всякое множество счётных одмножеств явл. Само счётным  Q - сч. мн.



Предел числовой последовательности:

Пусть aR, >0 {x: x-a<}

Последовательность {Xn} имеет конечный предел если сущ. такое число aR, что кокого

бы нибыло >0 почти все члены этой последовательности  - окрестность точки a.

Почти все - это значит за исключением быть может конечного числа.

n0=n0()N: n>n0  xn-a< a=limxn , при n

Свойства:

1. Единственность (Если предел есть, то только один)

Док-во: Метод от противного. a=limxn , b=limxn , при n, a>b, a-b=>0

n0=n0(/3):xn-a</3 и xn-b</3

=a-b=(a-xn)-(b-xn)

=(a-xn)-(b-xn) (a-xn)+(b-xn)2/3

2/3 Противоречие.

2. Ограниченность (Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена)

Дано: limxn=a, при n - конечный предел

Док-ть:M>0:xn

Док-во: limxn=a, при n:>0 n0=n0():a-nпри n>n0

Пусть =1, тогда при n>n0(1) будет выполняться a-1nили xn-a<1

Тогда xn<(xn-a)+a<xn-a+a<a+1 n>n0(1)

P=max{a1,a2,…,ano}

M=max{P,a+1}xn

3. Предел подпоследовательности (Если последовательность имеет предел а, то любая

её подпоследовательность имеет тоже предел а)



Свойства предельного перехода связанные с неравенствами:

Теорема 1. Пусть limxn=x, при n - конечный (1 последовательность)

limyn=y, при n - конечный (2 последовательность)

Если xто для почти всех n xnn

Док-во: =y-x>0

n=n(/3): xn-x</3 n>n

n=n(/3): yn-y</3 n>n

n0=max{n,n}, n>n0

x-/3n

y-/3nnn  n>n0 xnn Что и т. док-ть.

Следствие: Если последовательность имеет предел отличный от нуля, то

эта последовательность отделена от нуля. Эта последовательность при больших n

сохраняет знак своего предела)

x=limxn, x0

1) x>0 Предположим x>0 x/2>0x>x/2

limxn>x/2, при n Из Т.1. следует, что n0:n>n0 xn>x/2>0


Теорема 2. Предположим, что limxn=x и limyn=y, при n

Если для почти всех n:xnyn, то и xy

Док-во: Метод от противного. x>y по Т.1.  xn>yn для почти всех n

Противоречие.


Теорема 3. Теорема о двустороннем ограничении.

Пусь limxn=limyn=a, при n, и предположим, что xnznyn n, тогда

1) Сущ. limzn, при n

2) limzn=a, при n

Док-во: n=n():a-xna+, n>n

n=n():a-yna+, n>n

n0=max{n,n}

n>n0  a-xnznyna+  a-zna+  limzn=a



Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности:

def {xn}-б.м. :=limxn=0, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn<

def {xn}-б.б. :=limxn=, при n, т.е. >0 n0=n0() n>n0  xn>

Свойство 1. Произведение б.м. последов. на ограниченную даёт сного б.м.

{xn}-б.м. {yn}-ограниченная {xnyn}-б.м.

Док-во: M>0:ynM n - значит ограничена.

>0 n0=n0(/M):n>n0  xn</M 

 n>n0 xnyn=xnyn/M*M=  {xnyn}-б.м.

Свойство 2. Произведение б.б. на посл. Отделённую от нуля даст б.б.

{xn}-б.б. и {yn}-отдел от нуля

Док-во: {1/xn*1/yn}=б.м.*огран.=б.м. (по 1-ому свойству) {xnyn}-б.б.

Свойство 3. Сумма двух (любого кон. числа) б.м. послед. Даст снова б.м.

{xn} и {yn}-б.м. {xn+yn}-б.м.

Док-во:  n=n(/2):n>n xn</2

n=n(/2):n>n yn</2

n0=max{n,n}

n>n0  xn+ynxn+yn</2+/2=

Для того чтобы получить это св-во с любым числом последовательностей

нужно применить метод мат. индукции.

Свойство 4. Сумма б.б. одного знака снова б.б. того же знака

Док-во: Очивиднл.


Неопределённые интегралы.

def / F(x) называется первообразной

для f(x) на [a;b] если F (x)=f(x)

У непрерывной функции первообразная

всегда есть.

Теорема: Различные первообразные

одной и той же функции отличаются

на одно и тоже постоянное слагаемое.

Док-во: F1(x) и F2(x) – первообразные для f(x)

F(x)= F1(x)- F2(x)

F (x)= F1(x)- F1(x)=f(x)-f(x)=0

F(x)=const

Def / Совокупность всех первообразных одной

и той же функции называется её

неопределённым интегралом.

Св-ва линейности:

Замена переменных в неопределённом интеграле

или методом подстановки.

Теорема: Пусть функция x=

x(t): (;)(a;b), xC1(;), fC(a;b)

1)

x=x(t)

2) Если x(t) сохраняет знак, тогда

t=t(x)

Док-во: 1) d/dxF(x(t))=F (x(t))x(t)=f(x(t))x(t)

2) x(t) – строго монотонная  обратная t=t(x)

t=t(x)

Интегрирование по частям.

Рекуррентная формула.

y=+x2 y=2x xy=2x2=2(y-)

U=1/yn dx=dV dU=(-ny/yn+1)dx V=x

In=x/yn+2nIn-2nIn+1

1) In+1=(1/2n)(x/yn+(2n-1)In), n0, 0

2) In=(1/(2n-1))(2nIn+1-x/yn), n1/2, 0


Поле комплексных чисел.

(x;y)=(x;0)+(y;0)(0;1)=x+yi

алгебраическая запись комплексного числа

Чертёж :



Случайные файлы

Файл
13009-1.rtf
72011.doc
118383.rtf
27423-1.rtf
10597-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.