Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра (85034)

Посмотреть архив целиком

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине Математика – Алгебра

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij  R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

(1) (2) …(n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn( ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1)  =  (единичная)-четная; 2) sgn (--1 ) = sgn  ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.


Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn ( )

где  -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=sgn()a1 (1) a2 (2) …an (n) , A=(aij)n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1. |A|=|At|,где Аt -трансионированная;

2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a1+...ak b1+...bk c1+....ck),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента aij (Mij) и его алгебраического дополнения (Aij) .

Минором Mij элемента aij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число (-1)i+j Мij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a1jA1j +a2jA2j +....+anjAnj или

|A|=ai1Ai1 +ai2Ai2 +...+ain Ain .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a11…a1n

|A|= a21…a2n = ann Mnn

………

0……ann

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=sgn()a1 (1) a2  (2)…a n-1, (n-1) a n (n)

Так как в n-ой строке все элементы кроме ann нули, то все слагаемые в определителе кроме ann равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn() a1 (1) a 2  (2)....a n-1, (n-1) a n n =a n n (sgn(’) a 1(1) a 2 (2) ...a n-1,(n-1)),где

 = 1 2 ... n-1 n ’ = 1 2 ... n-1

 (1)  (2) ... (n-1) (n) , (1) (2) ... (n) , т.к

 = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

(1) (2) ... (n-1) (n ) (1) (2) ... (n) ,то sgn () =sgn(’).


Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=annMnn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a 11 ... a 1j .. a 1n

|A|= ................................. = a ij A ij

0 ... a ij ... 0

..................................

a n1 ... a nj ... a nn


Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A11 ... a1j ... a1n a11 .. a1j ..a1n a11 .. a1n .. a1j

A = ....................... = n-i .................... =n-i n-j .................... =

0 .. aij ... 0 an1 .. anj ..ann an1 .. ann ..anj

an1 .. anj ... ann 0 .. aij .. 0 0 .. 0 .. aij


=2n-Mij*aij=i+jaijMij=aijAij


Случай 3. |A|=a1iA1i +a2iA2i +....+aniAni.

A11 .. a1j .. ann ... a1j+0+..+0 ... .. a1j .. .. 0 .. ... 0

A21 .. a2j .. a2n ... 0 +a2j+..+0 .. .. 0 .. .. a2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

an1 .. anj .. ann ... 0+0+..+anj ... .. 0 .. .. 0 .. ...anj


= a1jA1j+a2jA2j+..+anjAnj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система aijxj=bi, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

xi= , где = A ,

xi-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) aijxj=bj, i=j=1,n, |A| 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X1 b1

X= X2 , b = b2

.. ..

xn bn


Если |A| 0  А-1  А-1АХ=А-1b  X=A-1 b. Известна теорема утверждающая, что A-1 = A* , где A* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A11 A21 .. An1 b1 b1A11+b2A22+..+bnAn1

X= A* b = A12 A22 .. An2 b2 = b1A12+b2A22+..+bnAn2 =

........................ ... ...................................

A1n A2n .. Ann bn b1A1n+b2A2n+..+bnAnn

x1

= x2 ,

......

xn


что и позволит получить формулу: Xi= , где = A , i=1,n


Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aA, bB}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название бинарное отношение.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W=a,b /,a,bA; aWb, a,bA; a,bW,где a,bA

Например, бинарные отношения являются:


Случайные файлы

Файл
124314.rtf
104865.rtf
27298.rtf
2.doc
176221.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.