Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия (2)

Посмотреть архив целиком

  • Матрицы. Терминология и обозначения.

    Матрицей размера (mxn) называется набор mn чисел – элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы:

    Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amjjтым столбцом.

    М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 – столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1, ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

    Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

    1. Действия с матрицами

      1. Сложение

    Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

    Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

    C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

      1. умножение м-цы на число

    Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

    Вij=СAij (I=1…m, j = 1…n)

    В=СА

    вычитание:

    С=А+(-)В = А-В

      1. умножение м-ц

    А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

    Сij = Ai1B1j+… AinBnJ

    С=АВ. Можно записать так:

    Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

    Св-ва умножения м-цы:

    (АВ)С=А(ВС)

    А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС


    Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

    1. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

    Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:

    1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

    2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

    отсюда вытекает, что

    порядок суммирования в двойной сумме можно менять.


    Матрица

    называется транспонированной по отношению к м-це А=

    Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm

    Св-ва операции транспонирования.

    1 (АТ)Т

    2 (А+В)ТТТ

    3 (СА)Т=САТ (С-число)

    4 (АВ)ТТВТ

    1. Элементарные преобразования матрицы.

    1 Переставление двух строк

    2 Умножение строки на не равное 0 число В

    3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

    Также производят элементарные преобразования столбцов.

    1. Матрицы элементарных преобразований.

    С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

    1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например м-ца:

    получена перестановкой 2 и 4 строки

    2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число:


    отличается от единичной элементом В во второй строке




    3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:

    Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на матрицу элементарных преобразований


    Элементарные преобразования строк м-цы А

    1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j

    2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j строки м-цы А на число В

    3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева


    Элементарные преобразования столбцов м-цы А

    1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j

    2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j столбца м-цы А на число В.

    3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.

    1. Определители

    С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

    Определителем м-цы второго порядка:

    наз число: а11а22-а12а21

    Определитель м-цы третьего порядка:

    =

    =

    также можно восп правилами треугольника:








    Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен, определитель м-цы порядка n будет равен:

    D= a11M11-a21M21+…+(-1)n+1an1Mn1

    где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1 столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому столбцу.

    число: Аij=(-1)I+1Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно записать так:

    Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на их алгебраический дополнитель.

    1. Свойства определителя

    1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]

    отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств определителя.

    2 Линейность

    Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

    тогда D=fD’+lD’’

    где:

    отличаются от D только I-тыми строками.

    3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой строк, то В* = -В

    4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

    5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число

    6 определитель с 0 строкой = 0

    7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)

    8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

    9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр = 0

    1. Обратная матрица

    Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

    М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:

    В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji, эл-та аji в м-це А.

    М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-вами:

    АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)

    Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:

    АА-1=I, А-1А=I

    М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I, где - неизвестная матрица.

    Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице

    1 Привести к треугольному виду

    2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

    3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

    2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы (метод Жордана)

    1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному, полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А



    15. Понятия связанного и свободного векторов.

    Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

    Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм. Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.

    Св-ва связанных в-ров:

    1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ

    2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

    3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

    От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.

    Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно. или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.

    Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-вектор обоз 0 со стрелкой.

    Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры, полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

    1. Линейные операции над в-рами

    1 сложение в-ров

    Пусть даны в-ры: а и в

    от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило треугольник и правило параллелограмма.

    Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

    (а+в)+с=а+(в+с),

    2 Умножение в-ра на число

    Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны.

    Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

    1 длина его |b|=|C||a|

    2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C<0). – М.: Обозн в=Са. При С=0 положим, что Са=0.

    Св-ва умножения

    1 (С+Д)а=Са+Да

    2 Са)=(СД)а

    3 С(а+в)=Са+Св (Си Д любые дейст. числа, а и в – в-ры)

    В-р, длина которого = 1 называется единичным в-ром или ортом и обоз а0, его длина |a0|=1

    Если а 0, то а0 = 1/|a|, есть единичный в-р (орт) направления в-ра а.

    Противоположный в-р (-а) –а || а, противоположно направлен в-ру а

    а+(-а)=0; -а= (-1)а

    3 вычитание в-ров

    разностью в-ров а и в наз в-р с, такой, что в+с =а

    а- уменьшаемый, в- вычитаемый, с- разность.

    1 разность в-ров а и в явл диагональю параллелограмма, построенного на в-рах а и в, направленная в сторону уменьшаемого в-ра.

    Пусть а и в ненулевые в-ры. отложим их от т. О, а=ОА, в=ОВ. Углом между в-рами а и в наз. наименьший угол между в-рами ОА и ОВ

    Если угол между а и в = П/2 эти в-ры наз ортогональными.

    1. Координаты и компоненты в-ра

    Обозначаем в прямоугольной декартовой системе координат положительные направления осей OX,OY,OZ единичными в-рами : i, j, k, попарно ортогональными и равными единице.

    Найдутся числа x,y,z, для которых:

    а = xi+yj+zk (2) Эта ф-ла наз. разложением в-ра по орто-базису

    Эти в-ры называются ортонормированным базисом. Для каждого в-ра а разложение по орто-базису единственно, т. е. коэффициенты x,y,z в разложении в-ра а по векторам i,j,k определены однозначно. Эти коэффициенты наз координатами в-ра а, они совпадают с координатами z,y,x т. А

    a={x,y,z} это означает, что в-р однозначно задается упорядоченной тройкой своих коэффициентов

    В-ры xi, yj, zk, сумма которых = а, называются компонентами в-ры а. Два в-ра а и в равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

    Радиус-вектором в т. М(x,y,z) называется вектор r=xi+yj+zk, идущий из начала коорд т. О в т. М

    Линейные операции над в-рами в координатах.

    Имеем 2 в-ра а={x1,y1,z1} b={x2,y2,z2}, таких, что а=x1i+y1j+z1k, b=x2i+y2j+xz2k

    сумма будет:

    a+b=(x1+x2)I+(y1+y2)j+(z1+z2)k

    a+b={x1+x2, y1+y2, z1+z2}

    при сложении в-ров их координаты попарно складываются. Для вычитания так же.

    Са={Cx1,Cy1,Cz1}

    при умножении на число, все его координаты умножаются на это число.

    В-ры а и в коллинеарны тогла и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

    1. Проекция в-ра на ось

    Прямая l, с заданным на ней направлением называется осью.

    Величиной направленного отрезка Ав на оси l наз. число, обозначаемое: (АВ) и равное длине отрезка АВ, взятом со знаком +, если напр АВ совп с напр. прямой и со знаком – если не совп.

    Проекцией в-ра АВ на ось l наз величина, направленного отрезка СД, построенного опусканием перпендикуляров из в-ра АВ на ось l, обозн: PrlAB=(СД)

    Свойства проекции:

    1 Проекция в-ра АВ на какую-либо ось l = произведению длины в-ра на косинус угла между осью и этим в-ром.

    PrlAB=|AB|cos

    2 Проекция на ось l в-ра Са =С Prlа, С- произв. число.

    3 Проекция суммы в-ров на какую либо ось = сумме проекции в-ров на эту же ось

    1. Скалярное пр-е в-ра

    2. Векторное пр-е в-ра

    3. Смешанное пр-е в-ров

    1. Деление отрезка в данном отношении

    т М В делит отрезок [АВ] в отношении , если АМ =  АВ. Т. М расположена на Ав при этом, если

    1 М внутренняя точка АВ, то >0 (случайц внутреннего деления)

    2 М=А, = 0

    3 М лежит вне Ав, <0 (случай внешнего деления)

    Других вариантов расположения т. М быть не может, и ни водном из вариантов -1

    Если А(r1), B(r2), M(r) – точки пространства и М – делит АВ в отн , тогда:

    это соотношение в координатной форме имеет вид: для А(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) и M(x,y,z)




    Если М – середина АВ, то =1Коорд x,y,z середины отрезка АВ выглядят так:




    Если т А В принадлежат плоскости ОХУ, то аппликата т А и В и М = 0 и задачу решают первые 2 ф-лы ,а если А и В М лежат на плоскости ОХ, тор первой ф-лой.

    1. Нормальное уравнение прямой. Общее уравнение прямой

    Если взять на плоскости фиксированную точку О и какую-либо прямую L, то положение этой прямой относительно плоскости будет определено если задать расстояние от нее до т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра из т. О на эту прямую; и единичный вектор n0=1 – перпендикулярный прямой L и направленный из начальной т. О к этой прямой.







    Когда текущая т. М движется по прямой L, радиус вектор-r меняется так, что проекция на направление n0 будет постоянной и равной р:

    это соотношение выполняется для каждой точки прямой L и нарушается когда т. М лежит вне ее.

    Заметив, что: это можно записать так:

    (2) полученное ур-е наз. нормальным (нормированным) уравнением прямой в векторной форме. Радиус в-р r – произвольной точки прямой наз. текущим радиус в-ром прямой.

    Выбрав на плоскости Декартову систему координат и поместив ее начало в т. О, в-ры r, n0 можно записать так:

    n0={cos, sin}; r={x,y}

    уравнение (2) примет вид:

    (3) это нормальное уравнение прямой в координатной форме, относительно прямых х и у; оно явл ур-ем 1 степени, тем самым в Декартовой прямоугольной системе всякое положение прямой определяется ур-ем 1 степени относительно переменных х и у верно и обратное.

    Уравнение Ax+By+C=0 (4) называется общим уравнением прямой А22 0

    если домножить его на постоянный множитель , положа:

    А= cos, В= sin, С = -р, где:



    называется нормирующим множителем.

    И уравнение получается нормальным .Общее уравнение (4) определяет прямую как множество точек М плоскости декартовы координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

    Нормальный в-р прямой - всякий ненулевой (не обязательно- единичный) в-р перпендикулярный этой прямой. Вектор n = {A,B} будет нормальным вектором прямой, заданной ур-ем (4), таким оборазом коэффициенты А и В при текущих координатах х и у являются координатами нормального в-ра этой прямой. Все отсальный нормальные в-ры прямой можно получить умножая в-р n на произвольное 0 число.

    1. Уравнение прямой на плоскости , проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.

    Для того, чтобы найти ур-е прЯмой L, проходящей через т. М0, заданную радиус-вектором r0={x0,y0}, перпендикулярную вектору n={A,B}, проведем радиус-вектор r={x,y} в произвольной т. М этой прямой

    в-р М0М = r-r0 лежит на прямой L, а значит перпендикулярен в-ру n, поэтому их скалярное пр-е = 0

    (r-r0) n = 0 (8) равенство справедливо для всех т. М принадлежащих прямой и нарушается, если точка на прямой не лежит. Ур-е (8) явл в-рным уравнением исходной прямой выражая это произв, через коорд в-ров получим ур-е прямой в коорд форме:

    A(x-x0)+B(y-y0)=0 (9)

    1. Исследование уравнения прямой неполные ур-я прямой..

    Если хотя бы один из коэффициентов А, В, С ур-я Ах+Ву+С=0 равен 0, ур-е наз. неполным. По виду уравнения прямой можно судить о ее положении на плоксоти ОХУ. Возможны случаи:

    1 С=0 L: Ax+By=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая проходит через начало координат

    2 А=0 L: Ву+С=0 - нормальный в-р n={0,B} перпендикулярен оси ОХ отсюда следует, что прямая параллельна ось ОХ

    3 В = 0 L: Ay+C=0 0 - номральный в-р n={А,0} перпендикулярен оси ОY отсюда следует, что прямая параллельна ось ОУ

    4 А=0, С=0 L: By=0y=0L=OX

    5 B=0, C=0 L: Ax=0x=0L=OY

    6 A 0, В 0, С 0 L; - не проходит через начало координат и пересекает обе оси.

    1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

    Если общее уравнение прямой, при В 0 переписать в виде:

    и приравняв:


    и получим ур-е с угловым коэффициентом

    у=кх+b (10), где число к = tg, - величина угла наклона прямой к оси ОХ, угол, отсчитываемый в направлении противоположном движению часовой стрелки от положительного направления оси ОХ до данной прямой.

    В случае L||ОХ, или L=OX, =0

    В случае L||ОY, или L=OY, =П/2 и угловой коэффициент не существует.

    1. Ур-е прямой, проход через данную т., с данным угловым коэфф. Ур-е прямой проход через две данные точки.

    Если прямая задана т М0(х0, у0) и угловым коэффициентом к, тогда на основании ур-я (10) можно получить ур-е искомой прямой:

    у-у0=к(х-х0) (11)

    Ур-е прямой проходящей через две заданных точки

    Зададим прямую точками М1(х1,у1) и М2(х2,у2), х1 х2. М1 и М2 принадлежат прямой, откуда следует:

    у-у1=к(х-х1) для М1и у-у2=к(х-х2) для М2

    откуда:

    (12) Эта ф-ла позволяет вычисли ть угловой коэффициент, зная коорд двух точек.

    Если у1 у2, то подставляя к из ф-лы (12) в равенство: у-у1=к(х-х1), получаем:

    (13) Искомое уравнении прямой, проход через две заданных точки.

    1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

    Расстоянием от т. М* до прямой L наз. длину отрезка М*N – перпендикуляра L опущенного из т. М* на эту прямую.

    Если М*(х*, у*) – заданная точка,

    а - нормальное ур-к прямой L, то расстояние от М* до L выч. по ф-ле:

    d=d(M*,L)=|x*cos+y*sin-p| (14)

    d=d(M*,L)=|rxn0 -p|

    обозначим через (M*,L)= rxn0 –p= x*cos+y*sin-p т. е.: d(M*,L)= ||

    по знаку можно судить о расположении точек О и М*, относительно прямой L:

    Если О и М* расположены по разные стороны относительно прямой, то > 0 , если по одну сторону – то <0. Величина называется отклонением т. М* от прямой L.

    Если прямая задана общим уравнением, то расстояние вычисляется по ф-ле:

    1. Уравнение прямой в отрезках

    Рассматривая общее ур-е прямой, при А,В,С 0, переписав его в виде:

    и положив

    а = - С/A в = - С/В получим ур-е прямой в отрезках: