Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс) (matan1)

Посмотреть архив целиком

Л

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню

екция №1

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение


Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

 – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

 - следует, выполняется

- тогда и только тогда

- любой

- существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не периодичной).


Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной точкой и отмеченным масштабом.

x





0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке отвечает R.

Основные числовые множества.


x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] ab

Частный случай отрезка точка

Или axb – в виде неравенства.


х

Интервал: (/////////) x – множество точек на числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a



x

Полуинтервал: (/////////] x

a b

x

[/////////) x

a b

Обозначается: [a;b) axb

(a;b] ab

Всё это числовые промежутки.


Замечание: один из концов ( а или b) может быть символом .

x

///////////////] x (-;b] или -<xb

b


x

///////////////) x (-;b) или -<x<b

b

Вся числовая прямая – R=(-;+)



Окрестности.

Определение: ε –окрестностью числа а называется множество чисел х удовлетворяющие неравенству

a-εε x-a (////////) x Оε(а)

ε>0 а-ε а а+ε


Оε(а)={xR:x-a<ε}


Проколотая ε окрестность – Оε(а) это множество таких чисел включающих R, и отстаёт от точки на ε и не принадлежит а.

Оε(а)={xR:0<x-a<ε}

(////////) x

а-ε а а+ε



Правая ε поло окрестность точки а: О+ε(а)={xR:ax<a+ε}


///////) x

a a+ε

Проколотая правая ε поло окрестность точки а: Оε(а)={xR:a<x<a+ε} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.

Левая ε поло окрестность точки а: O-ε(a)={xR:a-ε<xa}

(//////// x

a-ε a


Проколотая, левая ε поло окрестность точки а: О-ε(а)={xR:a-ε<x<a} Рисунок подобен предыдущему только с выколотой точкой а.



Модуль и основные неравенства.


x; x>0

х= 0; x=0

-x; x<0


|x|<h -h<x<h |x|>h x>h

h>0 x<-h

  1. а,b R: |ab|a|+|b|

  2. а,b R: |a-b|||a|-|b||

Можно рассматривать окрестности бесконечности:

Оε(+)={xR:x>ε} (////////// x

ε>0 ε

Оε(-)={xR:x<-ε} ///////////) x

ε>0 -ε 0


Оε()={xR:x>ε} \\\\\\) (////// x

x>ε;x<-ε -ε ε



Функция. Монотонность. Ограниченность.

х – называется независимой переменной.

у – зависимой.

Функцию можно задавать равенством (у=х2)

Таблицей

Х

Х1

Х2

Х3

Х4

У

У1

У2

У3

У4

Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на плоскости:


Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D ( ]xD)

Пусть Х подмножество в области определения в f(x).

Функция у=f(x) называется:

  1. Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)<f(x2)

  1. Убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)>f(x2)

3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)

  1. Не возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х: х1<x2f(x1)f(x2)

Определение:

Ограниченность. Пусть Х включает D y=f(x) называется:

  1. Ограниченной сверху на Х если существует В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется xR

  2. Ограниченной снизу на Х если существует А, так что для любого х принадлежащего Х выполняется Ах

  3. Ограниченной и сверху и снизу на Х если существует А,В, так что для любого х принадлежащего Х выполняется АхВ, или существует С, так что для любого х принадлежащего Х выполняется хС



Лекция №2

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 12 сентября 2000 г.

Тема: Функции



Определение (сложная функция):

Пусть задано D,E,G,C,R

На D: y=f(x) с областью значения E

На E: z=g(y) с областью значения G

Тогда на множестве D определена сложная функция z=g(f(x)) с областью значения G. Тогда говорят, что g(f(x)) есть суперпозиция функций g,f.


Пример: Пример

z=sin ex w=arctgcos exx-ln x

y=ex=f(x)

z=sin y=g(y)

D=R

E=R+

G=[-1;1]


Определение (обратной функции):

Пусть существует D,E,C,R

На D: y=f(x) с областью значений Е. Если для каждого у из y=f(x) найдётся единственный х, то говорят, что на множестве Е задана функция обратная к функции f(x), с областью значений D. Иными словами две функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными если выполняется тождества:


y=f(g(y)), yE y=f(g(y)), для любого уЕ

x=g(f(x)), xD x=g(f(x)), для любого хD


Примеры:

1)y=x3 x=3y

D=R

E=R








2)y=x2 x=y

D=R+ {0}=[0;+)

E=[0;+)

D=R- {0}=(-;0]

E=[0;) x=-y






3)y=sinx

D=[-/2;/2]

E=[-1;1]

x=arcsiny

y[-1;1]; x[-/2;/2]






Пусть y=f(x)

D=[a;b]

E=[A;B]








Определение: y=f(x), nN

a1=f(1)

a2=f(2)

an=f(n)

{an} – множество значений силовой последовательности nN или аn

{аn}={1,1/2,1/3,…,1/n,…}

аn=1/n

{аn}={sin1;sin2;sinn}

аn=sinn

аn=(-1)n/n










{(-1)n}={-1;1;-1;1;-1;1…}
















Ограниченные последовательности.

  1. Ограниченная сверху, то есть существует В так что аnВ, для любого nN

  2. Ограниченная снизу, то есть существует А так что Аbn, для любого nN

  3. Ограниченная, то есть существует А,В так что АаnВ, для любого nN существует С>0 так что аnС, для любого nN.


Монотонные последовательности

  1. возрастающая an<an+1, nN

  2. убывающая an>an+1, nN

  3. не возрастающая anan+1, nN

  4. не убывающая anan+1, nN


Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности аn, если для любого сколь угодно малого числа ε>0, найдётся натуральный номер N такой, что для всех чисел nN выполняется модуль разности an-a<ε ε>0 N : nN an-a<ε.

Начиная с этого номера N все числа этой последовательности попадают в ε окрестность числа а. Другими словами начиная с номера N вне интервала а-ε;а+ε может находиться не более конечного числа членов последовательности.


Lim an=0

n










Примеры: Доказать, что ln(-1)2/n=0

Зададим любое ε>0, хотим чтобы (-1)n-0<ε, начиная с некоторого номера N, 1/n<ε n>1/ε

N=[1/ε]+1

ε=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|<0.01, если n101

* * *

an=1-1/n2

lim(1-1/n2)=1

n+

Для любого ε>0 (1-1/n2)-1<ε

-1/n2<ε 1/n2<ε n2>1/ε n>1/ε

N=[1/ε]+1




Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности


Бесконечно малые последовательности


Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая lim an=0 то есть для любого ε>0 существует N, такое что для любого n>N выполняется

n+

an<ε

Важные примеры бесконечно малой последовательности:

1)n=1/n Докажем, что для любого ε>0 1/n<ε 1/n<ε n>1/ε N[1/ε]+1

Докажем, что lim1/n=0

n+

2) n= sin(1/n). Докажем, что для любого ε>0 sin(1/n)<ε, заметим, что 1/n принадлежит первой четверти, следовательно 1sin(1/n)>0, следовательно sin(1/n)<ε

Следовательно 1/nε n>1/arcsinε N=[1/arcsinε]+1. Докажем, что lim sin1/n=0

n+

3) n=ln(1+1/n)

n0; 1/n; 1+1/n1

lim ln(1+1/n)=0

n+

Докажем ln(1+1/n)<ε ln(1+1/n)<ε 1+1/n<eε

1/nε-1

n>1/eε-1 N=[1/eε-1]+1







  1. n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n+

Докажем ε>0 1-cos(1/n)<ε

1/n первой четверти cos первой четверти положительный 0<cos(1/n)<1 1-cos(1/n)<ε

cos(1/n)>1-ε (считаем, что 0<ε<1)

1/nε) n>1/arcos(1-ε)

N=[1/arcos(1-ε)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.


Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

nnбесконечно малое n+n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

n- бесконечно малое ε>0 N1:n>N1 n<ε

n- бесконечно малое ε>0 N2:n>N2 n<ε

Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N одновременно выполняется оба неравенства:


n<ε n+nn+n<ε+ε=2ε=ε1n>N

n<ε


Зададим ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 N=maxN1N2 : n>N n+n<ε1 lim(n+n)=0, то

n

есть n+n – бесконечно малое.


Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

n,n – бесконечно малое nn – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим ε1>0, положим ε=ε1, так как n и n – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1: n>N n<ε

N2: n>N2 n

Возьмем N=max {N1;N2}, тогда n>N = n<ε

n<ε

nn=nn<ε2=ε1

ε1>0 N:n>N nn<ε2=ε1

lim nn=0 nn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

n

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

аn – ограниченная последовательность

n –бесконечно малая последовательность ann – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как аn – ограниченная С>0: nN anC

Зададим ε1>0; положим ε=ε1/C; так как n – бесконечно малая, то ε>0 N:n>N n<ε ann=ann<Cε=Cε1/C=ε1

ε1>0 N: n>N ann=Cε=ε1 lim ann=0 annбесконечно малое

n


Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.


lim an=a an=a+n

n+

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n

где n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an ε>0 N:n>N an-a<ε. Положим an-a=n n<ε, n>N, то есть n - бесконечно малая

n+

an=a+n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n – бесконечно малая, то есть n=an-a ε>0 N: n>N

n=an-a<ε, то есть lim an-а

n+

Теоремы о пределах числовых последовательностей.

  1. Теорема о пределе суммы:

Пусть lim an=a lim bn=b lim an+n=a+b

n+ n+ n+

Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b

n+

2) Теорема о произведение пределов:

Пусть lim an=a lim bn=b lim anbn=ab

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и

n+

требовалось доказать.

  1. Теорема о пределе частного

Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b

n+ n+ n+

Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0

bn

0 (////////b/////////) x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b

n+


Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .


аn=(-1)n не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.


Бесконечно большие последовательности.

an=2n

N:n>N an>ε

bn=(-1)n2n

N:n>N bn>ε

cn=-2n

N:n>N cn<-ε

Определение (бесконечно большие последовательности)

1) lim an=+, если ε>0N:n>N an>ε где ε- сколь угодно малое.

n

2)lim an=-, если ε>0 N:n>N an<-ε

n+

3) lim an= ε>0 N:n>N an

n+

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём ε>0; хотим 2n>ε

n>log2ε

N=[log2ε]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки и , а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a< aR ε>0 NN:n>N an-a<ε

n

Обратное утверждение aR ε>0 NN: n>N an-a<ε


Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.

bn{2;0;2n;0;23;0….}

Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)

Пусть lim an=a< an - ограниченная

n+

Доказательство:

Дано:

ε>0N:n>N an-a<ε

Раз ε>0 возьмем ε=1 N:n>N an-a<1

a-1n<1+a, n>N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.

N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}

anc, n>N


Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если lim an=a <, то а- единственное.

n+

Доказательство:(от противного)

Предположим, что b: lim an=b и ba ε=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a<ε

n+

N2:n>N2 an-b<ε N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно

-(b-a)/2n-a<(b-a)/2

-(b-a)/2n-b<(b-a)/2

an-a<(b-a)/2

-

an-b>-(b-a)/2

b-a

0<0 – противоречие предположение, что b>a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ε=(a-b)/2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.

Теорема:

1)an- бесконечно большая 1/an – бесконечно малая

2)т – бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая lim an= для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько

n+

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε N1:n>N1 an>ε, то есть an>1/ε N=max{N1;N0}

Тогда n>N 1/an<ε, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an – бесконечно малое

n+

2)n – бесконечно малое lim n=0

n+

Дано: n0, n>N0 зададим ε>0 положим ε=1/ε>0

N1:n>N1 n<ε=1/ε

N=max{N0;N1}: n>N 1/n=, то есть 1/n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда lim an=а<

n+

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.



Случайные файлы

Файл
106972.rtf
WimmBillDan.doc
157811.rtf
168645.rtf
63267.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.