Решения задач линейного программирования геометрическим методом (183659)

Посмотреть архив целиком

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г. ШЕВЧЕНКО»

РЫБНИЦКИЙ ФИЛИАЛ

КАФЕДРА «ФИЗИКИ, МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ»





Курсовая работа

по дисциплине


"Исследование операций"

на тему:

Решения задач линейного программирования геометрическим методом


Выполнила:

студентка III курса

специальности “Информатика с доп. спец. английский язык”

Нистор А.Г.


Проверила:

преподаватель Панченко Т.А.




г. Рыбница

2008 г.


ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение 3

I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 4

1.1 Линейное программирование. 4

1.2 Формулировка задачи. 5

1.3 Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования. 7

1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом. 9

1.4.1 Математический аппарат. 9

1.4.2 Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. 11

1.4.3 Этапы решения графического метода задач линейного программирования 13

II. ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ 18

Задача № 1. 18

Задача № 2. 21

Задача № 3. 24

Задача № 4. 27

Задача № 5. 30

Заключение. 33

Список литературы 34



ВВЕДЕНИЕ


Линейное программирование - это наука о методах исследования и

отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. В данной курсовой работе будет рассмотрен геометрический метод решения задач линейного программирования. Геометрический метод применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного пространства, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Таким образом, целью данной курсовой работы является: освоить навыки использования геометрического метода для решения задач линейного программирования. Для этого были поставлены следующие задачи:

1) Изучить теоретические сведения, необходимые для решения задач линейного программирования геометрическим методом.

2) Разобрать алгоритм решения ЗЛП геометрическим методом.

3) Решить поставленные задачи, используя рассмотренный метод решения задач линейного программирования.



I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ


1.1 Линейное программирование


Линейное программирование — математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем математического программирования. Одновременно оно - основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Математическая формулировка задачи линейного программирования





Нужно максимизировать





при условиях при i = 0, 1, 2, . . . , m .

Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).

Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.


1.2 Формулировка задачи


Даны линейная функция Z1х12х2+...+СNxN (1.1)

и система линейных ограничений


a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2

. . . . . . . . . . . . . . .

ai1x1 + ai2x2 + ... + aiNХN = bi (1.2) . . . . . . . . . . . . . . .

aM1x1 + aM2x2 + ... + aMNХN = bM

xj 0 (j = 1, 2, ... ,n) (1.3)


где аij, bj и Сj - заданные постоянные величины.

Найти такие неотрицательные значения х1, х2, ..., хn, которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1) минимальное значение.

Общая задача имеет несколько форм записи.

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях А1х1 + А2x2 + ... + АNxN = Ао, X0 (1.4)

где С = (с1, с2, ..., сN); Х = (х1, х2, ..., хN); СХ - скалярное произведение; векторы A1 = A2 = ,..., AN состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А0Х0, где С = (с1, с2, ..., сN) - матрица-cтрока; А = (аij) - матрица системы; Х =(xij)- матрица-столбец, А0 = (аi) матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = Сjхj при ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х1, х2, ..., хN), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).

0пределение 2. План Х = (х1, х2, ..., хN) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, ..., N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х , являются линейно независимыми.

Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М.

0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.

0пределение 4. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции.

В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с нахождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции.



1.3 Основные понятия линейной алгебры и выпуклого анализа, применяемые в теории математического программирования


Кратко напомним некоторые фундаментальные определения и теоремы линейной алгебры и выпуклого анализа, которые широко применяются при решении проблем как линейного, так и нелинейного программирования.

Фундаментальным понятием линейной алгебры является линейное (вещественное) пространство. Под ним подразумевается множество некоторых элементов (именуемых векторами или точками), для которых заданы операции сложения и умножения на вещественное число (скаляр), причем элементы, являющиеся результатом выполнения операций, также в соответствии с определением должны принадлежать исходному пространству.

Частными случаями линейных пространств являются вещественная прямая, плоскость, геометрическое трехмерное пространство.

Вектор λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam называется линейной комбинацией векторов а1 а2,..., аm с коэффициентами λ1, λ2, λm,

Система векторов линейного пространства а1 а2,..., аm называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1, λ2, λm не равные одновременно нулю, что их линейная комбинация λ1a1 + λ2a2 + …+ λmam равняется нулевому вектору (вектору, все компоненты которого равны нулю). В противном случае систему а1, а2,..., аm называют линейно независимой, т. е. линейная комбинация данных векторов может быть равна нулевому вектору только при нулевых коэффициентах λ1, λ2, …, λm

Максимально возможное количество векторов, которые могут образовывать линейно независимую систему в данном линейном пространстве, называют размерностью пространства, а любую систему линейно независимых векторов в количестве, равном размерности, — базисом пространства.

Линейное пространство обычно обозначают как Rn, где n — его размерность.

Любое подмножество данного линейного пространства, которое само обладает свойствами линейного пространства, называется линейным подпространством. Множество Н, получаемое сдвигом некоторого линейного подпространства LRn на вектор aRn: H=L+a, называется аффинным множеством (пространством). Если фундаментальным свойством любого линейного пространства или подпространства является принадлежность ему нулевого вектора, то для аффинного множества это не всегда так. На плоскости примером подпространства является прямая, проходящая через начало координат, а аффинного множества — любая прямая на плоскости. Характеристическим свойством аффинного множества является принадлежность ему любой прямой, соединяющей две любые его точки. Размерность аффинного множества совпадает с размерностью того линейного подпространства, сдвигом которого оно получено.


Случайные файлы

Файл
122571.rtf
132025.rtf
181253.rtf
113778.rtf
23291.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.