задачник Кузнецова (DOC) 2005 год (Линейная алгебра)

Посмотреть архив целиком

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

Baumanki.net


§ 10.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

  1. Линейное пространство. Базис. Координаты.

  2. Преобразование координат вектора при переходе к ново­му базису.

  3. Линейный оператор. Матрица оператора.

  4. Преобразование матрицы оператора при переходе к но­вому базису.

  5. Действия над линейными операторами.

  6. Собственные векторы и собственные значения.

  7. Евклидово пространство. Неравенство Коши—Буняковского.

  8. Сопряженные и самосопряженные операторы. Их матрицы.

  9. Ортогональное преобразование; свойства; матрица.

10) Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.

§ 10.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Найти какой-нибудь базис и размерность подпростран­ства пространства , если задано уравнением

  1. Доказать, что все симметрические матрицы третьего по­рядка образуют линейное подпространство всех квадратных матриц третьего порядка. Найти базис и размерность этого подпространства.

  2. Найти координаты многочлена в базисе 1, .

  3. Линейный оператор в базисе имеет матрицу

Найти матрицу этого же оператора в базисе .

  1. Найти ядро и образ оператора дифференцирования в пространстве многочленов, степени которых меньше или равны трем.

  2. Пусть и — собственные векторы линейного опе­ратора , относящиеся к различным собственным значениям. Доказать, что вектор не является собственным вектором оператора .

  3. Пусть Будет ли оператор самосопряженным?

  4. Доказать, что если матрица оператора А — симметри­ческая в некотором базисе, то она является симметрической в любом базисе (базисы — ортонормированные).


§ 10.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ


Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?


1. Множество всех векторов трехмерного пространства, координаты которых – целые числа; сумма , произведение .

2. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

3. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей; сумма , произведение .

4. Множество всех векторов трехмерного пространства; сумма , произведение .

5. Множество всех векторов, лежащих на одной оси; сумма , произведение .

6. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов ; сумма , произведение .

7. Множество всех функций , принимающих положительные значения; сумма , произведение .

8. Множество всех непрерывных функций , заданных на ; сумма , произведение .

9. Множество всех четных функций , заданных на ; сумма , произведение .

10. Множество всех нечетных функций , заданных на ; сумма , произведение .

11. Множество всех линейных функций