задачник Кузнецова (DOC) 2005 год (Векторный анализ)

Посмотреть архив целиком

Baumanki.net

§ 8.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

  1. Скалярное поле. Производная по направлению.

  2. Градиент, его свойства. Инвариантное определение градиента.

  3. Векторное поле. Поток векторного поля через поверх­ность, его физический смысл.

  4. Формула Остроградского.

  5. Дивергенция векторного поля, ее физический смысл. Инвариантное определение дивергенции. Свойства дивергенции.

  6. Соленоидальное поле, его основные свойства.

  7. Линейный интеграл в векторном поле, его свойства и фи­зический смысл.

  8. Циркуляция векторного поля, ее гидродинамический смысл.

  9. Формула Стокса.

  1. Ротор векторного поля, его свойства. Инвариантное опре­деление ротора.

  2. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

  3. Потенциальное поле. Условия потенциальности.

§ 8.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

  1. Найти производную скалярного поля по направлению градиента скалярного поля

  2. Найти градиент скалярного поля , где — по­стоянный вектор, а — радиус-вектор. Каковы поверхности уровня этого поля и как они расположены по отношению к век­тору ?

  3. Доказать, что если 5 — замкнутая кусочно-гладкая по­верхность и — ненулевой постоянный вектор, то

где —вектор, нормальный к поверхности .

  1. Доказать формулу

где ; — поверхность, ограничивающая объем ; — орт внешней нормали к поверхности . Установить условия применимости формулы.

  1. Доказать, что если функция удовлетворяет уравнению Лапласа

то

где — производная по направлению нормали к кусочно-гладкой замкнутой поверхности .

  1. Доказать, что если функция является многочле­ном второй степени и — кусочно-гладкая замкнутая поверх­ность, то интеграл пропорционален объему, ограни­ченному поверхностью .

  2. Пусть , где линей­ные функции от , и пусть — замкнутая кусоч­но-гладкая кривая, расположенная в некоторой плоскости. Доказать, что если циркуляция отлична от нуля,
    то она пропорциональна площади фигуры, ограниченной контуром .

  3. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, проходящей через начало координат. Вектор угловой скорости . Определить ротор и дивергенцию поля линейных скоростей точек тела (здесь — радиус-вектор).


§ 8.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ


Задача 1. Найти производную скалярного поля в точке по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси .


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.