задачник Кузнецова (DOC) 2005 год (Графики)

Посмотреть архив целиком

При необходимости более детального просмотра увеличьте масштаб документа!

Baumanki.net

§ 3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

  1. Условия возрастания функции на отрезке.

2) Условия убывания функции на отрезке.

  1. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.

  2. Достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знака первой производной).

  3. Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерыв­ной на отрезке.

  4. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости.

  5. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба,

  6. Исследование функции на экстремум с помощью высших производных.

  7. Асимптоты графика функции.

§ 3.2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1) Доказать, что функция монотонно воз­растает на отрезке: а) [,]; б) [].

Следует ли из монотонности дифференцируемой функции монотонность ее производной?

2) Доказать теорему: если функции и диффе­ренцируемы на отрезке [a,b] и > , а =, то >.

Дать геометрическую интерпретацию теоремы.

Указание. При доказательстве теоремы установить и использовать моно­тонность функции .

3) Доказать неравенство для трех случаев:
a) ; б) , f); в) .
Дать геометрическую интерпретацию неравенства.

  1. Исходя из определений минимума и максимума, доказать, что функция

имеет в точке = 0 минимум, а функция

не имеет в точке = 0 экстремума.

  1. Исследовать на экстремум в точке функцию , считая, что производная не суще­ствует, но функция непрерывна в точке и ,
    n — натуральное число.

  2. Исследовать знаки максимума и минимума функ­ции и выяснить условия, при которых уравнение имеет:

а) три различных действительных корня;

б) один действительный корень.

  1. Определить «отклонение от нуля» многочлена на отрезке [0,3], т. е. найти на этом отрезке наибольшее значение функции .

  2. Установить условия существования асимптот у графика рациональной функции.

§ 3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1. . 2.