Метода по ОДУ теория (2)

Посмотреть архив целиком


2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ N - ГО ПОРЯДКА


Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид


(2.1)


 Общим решением уравнения (2.1) называется непрерывно дифференцируемая n раз функция удовлетворяющая уравнению и содержащая n произвольных постоянных подходящим выбором которых можно получить любое решение.

Решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных называется частным решением.

Конкретные значения произвольных постоянных могут быть найдены из n начальных или граничных условий, задаваемых, исходя из физических особенностей задачи. Соответственно этому различают начальную задачу ( задачу Коши ) или краевую граничную ) задачу.

Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется начальной задачей или задачей Коши , если значения искомой функции и ее производных до (n-1)-го порядка включительно задаются при одном и том же начальном значении независимой переменной ( при ):


……………………………………


Задача интегрирования дифференциального уравнения n-го порядка называется краевой (или граничной) задачей , если значения искомой функции (а возможно ее производных) задаются не в одной, а в двух точках, а именно на концах фиксированного интервала изменения независимой переменной x.

Например, для уравнения второго порядка при граничные условия могут иметь вид: или

В отличие от задачи Коши, решение которой существует и единственно ( при некоторых весьма общих условиях, налагаемых на правую часть уравнения (2.1)), краевая задача может не иметь решения или решение может быть неединственным.


2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений n - го порядка методом

понижения порядка


Если правая часть уравнения (2.1) является известной непрерывной функцией от x: f(x) или не содержит искомую функцию y: или не содержит явно независимую переменную x: то для решения уравнения (2.1)может быть применен метод понижения порядка.


1. (2.2)


Это уравнение интегрируется непосредственно n раз. При каждом интегрировании порядок уравнения понижается на единицу, и появляется произвольная постоянная. В результате общее решение

уравнения будет иметь вид


(2.3)

------------

 5n-кратный интеграл


2. (2.4)


Уравнение (2.4) не содержит искомой функции y(x). Рассмотрим процедуру интегрирования уравнения данного типа на примере уравнения второго порядка (2.5)

Понижение порядка достигается подстановкой


(2.6)

Тогда (2.7)

и уравнение (2.5) сводится к уравнению первого порядка относительно функции z(x): z'(x) = f(x,z). (2.8)

Интегрируя уравнение (2.8), находим его общий интеграл в виде

(2.9)


где - произвольная постоянная. Далее в (2.9) заменяем левую часть согласно (2.6) и вновь получаем уравнение первого порядка относительно искомой функции y

(2.10)


Интегрируя уравнение (2.10), находим общее решение исходного уравнения (2.4) в виде


(2.11)


Замечание. Если уравнение (2.4) не содержит ни искомой функции y, ни ее производных до (k-1) - го порядка включительно, то есть имеет вид


то его порядок может быть понижен сразу на k единиц подстановкой


3. (2.12)


Это уравнение не содержит явно независимой переменной x. В частном случае уравнение второго порядка данного типа будет

(2.13)

Понижение порядка достигается подстановкой


(2.14)

 

Тогд (2.15)

( по правилу вычисления производной от сложной функции ). Поэтому уравнение (2.13) сводится к уравнению первого порядка относительно функции z(y):


(2.16)


 

Интегрируя уравнение (2.16), находим его общее решение в виде


(2.17)


где - произвольная постоянная. Далее в (2.17) заменяем левую часть согласно (2.14) и вновь приходим к уравнению первого порядка с разделяющимися переменными относительно искомой функции


(2.18)


Интегрируя уравнение (2.18), окончательно получим общий интеграл исходного уравнения (2.13) в виде


(2.19)


 Пример.  Решить уравнение


Это уравнение не содержит искомой функции y(x) и ее первых производных и относится ко второму из рассмотренных нами типов. Применяя подстановку


(2.20)


получаем линейное неоднородное уравнение первого порядка


(2.21


Интегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение