Метода по ОДУ теория (2.3)

Посмотреть архив целиком

2.3. Задачи на собственные значения


Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

второго порядка

(2.51)


c однородными граничными условиями


 (2.52)


Здесь предполагается, что 0 7 ,  0x 7 ,  0L,  7l 0 некоторый параметр, имеющий определенный физический смысл.

Задача (2.51), (2.52) является однородной краевой задачей. Особенность ее в том, что для любого значения параметра  она имеет "тривиальное" решение y=0. Но кроме того, имеются еще определенные значения  , при которых задача имеет не равные тождественно нулю ("нетривиальные") решения. Такие значения параметра  называются  собственными значениями , а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются  собственными функциями . Сама же задача отыскания собственных значений и собственных функций называется  задачей на собственные значения . Эта задача представляет большой интерес для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.

Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости консольно закрепленного стержня, сжатого продольной силой P. С математической точки зрения эта задача сводится именно к задаче на собственные значения (2.51), (2.52). При этом параметр

(2.53)

где EI-изгибная жесткость стержня длиной L. Тривиальное решение y=0 соответствует прямолинейной форме равновесия сжатого стержня. Для определения собственных значений параметра  следует, во-первых, найти общее решение уравнения (2.51). Заранее известно, что общее решение


(2.54)


Отыскивая частные решения в форме экспоненты: приходим к характеристическому уравнению которое имеет мнимые корни , . Поэтому общее решение уравнения (2.51) принимает вид

(2.55)


Общее решение (2.55) подчиняем граничным условиям (2.52). Из условия следует, что . Удовлетворяя второму граничному условию, получаем уравнение .

Из условия существования нетривиального решения . Следовательно, необходимо принять


(2.56)


Из этого простейшего тригонометрического уравнения следует Поэтому собственные значения параметра  будут равны

  (2.57)


Соответствующие им собственные функции


(2.58)


определены, как видно, с точностью до постоянного множителя.

Формулы (2.57), (2.58) дают решение задачи (2.51), (2.52) на собственные значения. Как видно из (2.57), существует бесконечное количество собственных значений параметра . Подставим (2.57) в выражение (2.53)

(2.59)


Из формулы (2.59) следует, что существует множество значений сжимающей силы P, при которых возможны различные искривленные формы равновесия продольно сжатого стержня. Наименьшее значение сжимающей силы, соответствующее n=0, называется критическим и равно

. (2.60)


При этом значении силы первоначальная прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится неустойчивой.

2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения

с переменными коэффициентами


Если коэффициенты линейного неоднородного уравнения


(2.61)


и его правая часть f(x) представляют собой функции, которые определены и непрерывны на заданном интервале, то рассмотренные выше теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения, основная теорема для однородного уравнения остаются справедливыми. Остаются в силе также принцип суперпозиции (наложения) решений для неоднородного уравнения и метод вариации произвольных постоянных. Но при этом нельзя искать частные линейно независимые решения однородного уравнения в виде экспоненты.


2.4.1. Уравнение Эйлера


Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида


, (2.62)


где - константы. В частности, при уравнение Эйлера имеет вид


(2.63)

Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x. Для наиболее распространенного случая (2.63), полагая



получим


(2.65)


 Пример . Решить уравнение


  (2.66)


Однородное  линейное уравнение, соответствующее  уравнению (2.66), есть уравнение Эйлера. Применим замену по формулам (2.64), (2.65). Тогда