Ответы на экзамен 2 (Билет №19-2)

Посмотреть архив целиком

Билет №19-2

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

Чтобы провести более общее обсуждение теплоемкости, заметим прежде всего, что в пределе большого кристалла набор дискретных векторов, по кото­рому ведется суммирование в выражении (23.12), становится плотным в мас­штабе тех характерных расстояний в k-пространстве, на которых слагаемые в (23.12) испытывают существенные изменения. Поэтому мы можем заменить сумму интегралом, поступая согласно общему правилу (2.29) для произволь­ного набора волновых векторов, удовлетворяющих граничным условиям Борна — Кармана, и записать выражение (23.12) в виде

(23.15)


причем интегрировать следует по первой зоне Бриллюэна. С учетом упрощений при очень низких температурах выражение (23.15) принимает вид




где интеграл берется по всему k-пространству.


Фиг. 23.1. Упрощения, используемые для расчета низкотемпературной удельной теплоем­кости гармонического кристалла.

а — типичные кривые дисперсии нормальных мод двухатомного кристалла вдоль некоторого направления в k-пространстве (имеющего достаточно высокую симметрию, поскольку две акустические и две оптиче­ские моды вырождены).

б — спектр, заменяющий кривые, приведенные на фиг.а, при расчете интеграла (23,15). Акустические ветви заменяются прямыми, неограниченно продолжающимися в область произвольно больших значений k (т. е. интегрирование по первой зоне Бриллюэна заменяется интегрированием по всему k-пространству); оптическими ветвями при этом пренебрегают. Такие упрощения оправданы, поскольку большие по срав­нению с kв Tчастоты (части дисперсионных кривых на фиг. а и б, лежащие выше горизонтальной штри­ховой линии) вносят пренебрежимо малый вклад в интеграл (23.15), а части дисперсионных кривых, отве­чающие модам, которые действительно вносят вклад в величину (23.15) (участки кривых ниже горизон­тальной штриховой линии), на фиг. а и б совпадают. Квантовая теория гармонического кристалла 85

……………….. при очень низких температурах имеем

(23.20)

Для справедливости формулы (23.20) необходимо, чтобы величина kвT была мала по сравнению со всеми частотами фононов, не лежащими на линей­ном участке спектра; отсюда следует, что величина kвTдолжна составлять малую долю характерной частоты на границах зоны. Для выполнения подоб­ного условия температура Т должна быть значительно ниже комнатной. Так как при уменьшении температуры ниже комнатной закон Дюлонга и Пти начи­нает нарушаться, существует достаточно широкая область температур, в кото­рой не применимы ни низкотемпературный, ни высокотемпературный расчеты, а следует использовать общую формулу (23.15). На практике, однако, в этой промежуточной области температур часто используют интерполяционные методы.

ТЕПЛОЕМКОСТЬ ПРИ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ. МОДЕЛИ ДЕБАЯ И ЭЙНШТЕЙНА

В самых первых квантовых расчетах теплоемкости решетки, проведенных Эйнштейном и Дебаем, не использовался спектр фононов в его общем виде, рас­смотренном выше, а предполагалось, что закон дисперсии нормальных мод имеет некоторую особенно простую форму. Результаты этих расчетов, построен­ных на грубой аппроксимации закона дисперсии нормальных мод', исполь­зуются теперь в качестве интерполяционных формул. Кроме того, теория Дебая оказала значительное влияние на принятую терминологию и определила даже способ представления экспериментальных данных.

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ СХЕМА ДЕБАЯ

В модели Дебая все ветви колебательного спектра заменяются тремя вет­вями с одним и тем же линейным законом дисперсии 3)

ω = ck. (23.21)

Кроме того, в формуле (23.15) вместо интеграла по первой зоне Бриллюэна берется интеграл по сфере радиусом kD , выбираемым так, чтобы эта сфера содер­жала ровно N разрешенных волновых векторов, где N — число ионов в кристалле. Поскольку объем k-пространства, приходящийся на один волновой вектор, равен (2π)3/V (см. т. 1, стр. 50), это означает, что величина (2π) 3 N/V должна равняться 4π kD3 /3 и, следовательно, kD определяется соотношением1)

(23.22)



После этих упрощений формула (23.15) приобретает вид

(23.23)


При вычислении интеграла в (23.23) удобно определить дебаевскую частоту

(23.24)

и дебаевскую температур

kBθD = ħωD = ħckD (3.25)

Легко видеть, что 1/kD характеризует среднее расстояние между частицами в кристалле, частота ωD имеет порядок максимальной частоты фононов, а θD представляет собой характерную температуру; выше нее возбуждены все моды, а ниже некоторые моды начинают «вымерзать»

2).Произведем замену переменных ħck/kBT = х; тогда в формулу (23.23) будет входить лиш дебаевская температура:


(23.26)

Эта формула выражает удельную теплоемкость при всех температурах через один эмпирический параметр θD. Разумный способ выбора θD (хотя и далеко не единственный из используемых) — потребовать, чтобы выражение (23.26) согласовывалось с наблюдаемой удельной теплоемкостью при низких тем­пературах. Это будет обеспечено (по крайней мере в гармоническом прибли­жении), если связь скорости с в формулах (23.21) или (23.25) с точным фоношшм спектром описывается формулой (23.18). Получающееся выражение для низко­температурной теплоемкости таково :

(23.27)


a) Температуры Дебая определялись путем подгонки наблюдаемых удельных теплоемкостей Cv к формуле Дебая (23.26) в точке, где Cv = 3nkB/2. Данные взяты из статьи де Лоне [3].

Таким образом


Фиг. 23.3. Зависимость удельной теплоемкости в дебаевском приближении от T/θD. ( из работы [3].)


дебаевская температура играет в теории колебаний решетки такую же роль, какую температура Ферми играет в теории электронов в металлах: обе они представляют собой характерные температуры, отделяющие низкотемператур­ную область, где нужно пользоваться квантовой статистикой, от высокотем­пературной области, где справедлива классическая статистическая механика. Однако в случае электронов реальные температуры всегда гораздо ниже ТF ,. тогда как дебаевская температура θD (см. табл. 23.3) обычно порядка 102 К поэтому нам могут встретиться как квантовый, так и классический режимы.


Краткое объяснение температуры Дебая.


ДЕБАЯ ТЕОРИЯ твёрдого тела — теория, описываю­щая колебания кристаллич. решётки и обусловленные ими термодинамич. свойства твёрдого тела; предложена П. Дебаем в 1912 в связи с задачей о теплоёмкости кристалла. Д. т. основана на упрощённом представ­лении твёрдого тела как изотропной упругой среды, атомы к-рой совершают колебания в конечном диапазо­не частот.

Кристаллич. решётка, состоящая из N элемен­тарных ячеек по v атомов в каждой, имеет 3Nv—6 ≈ 3Nv колебат. степеней свободы. С механич. точки зре­ния, такую систему можно описывать как совокупность 3Nv независимых осцилляторов, каждый из к-рых со-



ДЕБЯ ЗАКОН ТЕПЛОЁМКОСТИ — теоретически выведенная П. Дебаем в 1912 ф-ла, согласно к-рой теп­лоёмкость С твёрдого тела при низких темп-pax Т пропорц. кубу темп-ры:

C = 2/5 π2 kV (kT/ ћ c) 3 ( 1 )

где V — объём, с — ср. скорость звука. При низких темп-pax можно не делать различия между теплоём­костью при пост, объёме Cv и пост, давлении Ср, по­скольку в данному случае Ср

Для всех твёрдых тел при T~0 теплоёмкость решёт­ки удовлетворительно описывается ф-лой ( 1 ). Это связано с тем, что при низких темп-pax дебаевское приближение (см. Дебая теория) соответствует харак­теру колебат. спектра твёрдого тела: существованию трёх акустич. ветвей колебаний Различие проявляется вблизи температурных границ Тгр применимости теории Дебая. Для простых кристаллич. решёток (элементы и простые соединения) порядка неск. десятков К. Для более сложных решёток, а также для анизотропных струк­тур (например, квазидвумерных и квазиодномерных) существенно ниже

При сравнении эксперим. результатов с Д. з. т. имеется в виду только теплоёмкость решётки и исключается её электронная и др. составляющие (см. Тепло­ёмкость).

Лит. см. при ст. Дебая теория.

ДЕБАЯ ТЕМПЕРАТУРА — характеристич. темп-ра твёрдого тела, вводимая соотношением:

kTθ = ћωD ( 2 )

где ωD — макс, частота колебаний кристаллич. ре­шётки, определяемая из условий равенства числа ко­лебаний, приходящихся на частотный интервал от 0 до ωD, полному числу колебат. степеней свободы решёт­ки (см. Дебая теория).



Случайные файлы

Файл
5410.rtf
35303.rtf
6097-1.rtf
77677-1.rtf
53270.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.