Задача 2.2. Найти ближайший к точке x=0 корень уравнения с точностью . Используя модификацию метода Ньютона для случая кратного корня при значениях m=1,2,3,4,5, по числу итераций определить его кратность.

2.2.11.

Теория:


Применение метода Ньютона для нахождения кратного корня. Метод Ньютона для случая кратного корня обладает лишь линейной скоростью сходимости. Чтобы сохранить квадратичную сходимость его модифицируют следующим образом:

, где - кратность корня.

Как правило, значение v неизвестно. Используя метод Ньютона, можно узнать кратность корня. Для этого будем задавать значения = 1,2,3,4,5, и вычислять значение корня с заданной точностью, одновременно подсчитывая количество итераций для каждого значения . При некотором значении число итераций будет минимальным. Это значение и есть кратность корня.


Решение:





































Программируем модификацию метода Ньютона:


























При =2,3,4,5 программа уже не может посчитать результат, т.к. количество итераций будет очень велико, и мы получим сообщение: «Cannot evaluate this accurately at one or more of the specified values». Следовательно, корень уравнения не является кратным, т.к. при =1 количество итераций минимально.


Задача 2.3. Методом простой итерации найти все вещественные корни алгебраического уравнения с точностью .

2.3.11.


Теория:


Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

.

Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности:

.

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство

.

Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций: .


Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду . Предположим дополнительно, что производная знакопостоянна и на отрезке [a,b].



- оптимальное значение параметра α.



Где m1- минимальное значение , а M2- максимальное на отрезке [a,b].


Решение:
























.











Отрезок локализации [-1,0]






































Отрезок локализации [0,2]












Отрезок локализации [2,3]


















Вывод:

2.2. С помощью модификации метода Ньютона обнаружено, что ближайший корень к точке x=0 не является кратным.

2.3. Чтобы наиболее быстро получить решение уравнения, необходимо указывать начальное приближение наиболее близкое к корню. Это видно, когда на отрезке локализации [-1,0] в качестве начального приближения было взято значение -1, от которого корень уравнения, как видно из графика функции, наиболее удалён, и был получен корень уравнения после 74х итераций. На отрезках локализации [0,2], [2,3] использовались начальные приближения наиболее близкие к корню, в итоге корень уравнения получен за меньшее количество итераций. Также на количество итераций влияет и длина отрезка локализации - чем он короче, тем быстрее будет получен корень уравнения.


Случайные файлы

Файл
184152.doc
58856.rtf
90900.rtf
183167.rtf
18502.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.