1. Предел числовой последовательности и его свойства. Арифметические действия с пределами.

Опр1: Совокупность значений ф-и an=f(n) натурального аргумента n наз-ся числовой последовательностью и обозначается а12,..аn или кратко { аn }

Опр2: Число А наз-ся пределом последовательности { аn }, если для любого сколь угодно малого ε>0 существует такое число N, что для всех номеров n>N выполняется условие

‌‌| аn-A|< ε

Арифметические действия:

Если последовательности { аn } и { bn } имеют предел, то имеют предел следующие последовательности:{ аn + bn },{ аn - bn },{ аn * bn },

{ аn / bn } при условии bn≠0. Причем

Док-во 1)

Согласно опр это означает, что

2. Числовой ряд. Сходимость ряда. Сумма ряда. Остаточный член ряда. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда. Сложение и умножение на число сходящихся рядов.


Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.


Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. n-ым остатком сходящегося ряда называется ряд , получ из данного отбрасыванием первых его членов. Обозначается Rn. Очевидно, что для сходящегося ряда . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то предел общего члена равен 0 (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. Необходимый признак в достаточной форме: если предел не равен 0, то ряд расходится.


Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности an, то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

3. Числовой ряд. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Примеры.


Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой.

Сходимость числового ряда. Ряд называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательностичастичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится.

. Если ряд сходится, то предел общего члена равен 0 (необходимое условие сходимости ряда).

Док-во: Т.к. ряд сходится, то сущ пределы и . Т.к. суммы отличаются на слагаемое an=Sn-Sn-1, то

Пример

расходится


4. Признаки сравнения для рядов с положительными членами.


1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами . Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Наоборот, из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если для таких же двух рядов,

существует конечный отличный от 0 предел отношений общих членов данных рядов то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд , который сходится при p>1 и расходится при p≤1, или геометрический ряд , который сходится при |q|≤1 и расходится при |q|≥1.

(Т.к. это геом прогрессия, то сумма Sn при |q|≠1

































































































7. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Условная сходимость. Примеры. Действия с абсолютно сходящимися рядами.


Абсолютная и условная сходимость.

Опр: Ряд c членами произвольных знаков наз-ся знакопеременным.

Опр: Ряд , где значения Un - числа одного знака,называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд. Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда начинают с исследования