Механика.

Основные формулы и понятия.


Скаляр

Скаляр - геометрический объект, не изменяющийся при сдвигах, поворотах и инверсии (обращении) пространства.

Вектор полярный.

Вектор - геометрический объект, направленный отрезок (упорядоченная пара точек). Как направленный отрезок из точки A в точку B, вектор обозначают символом AB (упорядоченная пара, часто со стрелкой наверху), либо одной жирной латинской буквой, например a (часто со стрелкой наверху). Начало вектора называют точкой приложения вектора. Если точка A является началом вектора, то говорят, что вектор приложен в точке A. Так определяемый вектор называют полярным вектором. При инверсии пространства полярный вектор меняет направление.

Вектор аксиальный (осевой, скользящий).

Аксиальный вектор порождает, например, векторное произведением двух полярных векторов. Примерами аксиальных векторов служат: угловая скорость , угловое ускорение , момент импульса L, момент силы M, индукция B и напряжённость H магнитного поля. При инверсии пространства аксиальный вектор не меняет направление.

Пространство (базовое понятие математики и физики).

Пространство есть множество элементов с некоторой дополнительной структурой. В зависимости от этой дополнительной структуры элементы пространства называют «точками», «векторами», «событиями» и т. п..

Линейное (векторное) пространство.

Множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число.

Евклидово пространство.

Линейное пространство, в котором задана евклидова структура - положительно-определённая билинейная симметрическая форма, называемая скалярным произведением.

Метрическое пространство.

Множество X называют метрическим пространством, если на множестве упорядоченных пар (x, y) элементов множества X задана функция (x, y), удовлетворяющая свойствам:

1 (x, y) 0, причём (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y.

2 (x, y) = (y, x) (симметричность, перестановочность, коммутативность).

3 (x, y) (x, z) + (z, y) (неравенство треугольника).

Функцию (x, y) называют метрикой или функцией расстояния, число (x, y) - расстояние между двумя точками x и y множества X.

Метрический тензор 3-х мерного евклидова пространства.

ij = ij =ij =ij = - символ Кронекера.

Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение a·b двух векторов a и b: a·b = ab cos(a^b) - скаляр - число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. При преобразовании пространства (сдвиг, поворот, отражение) это число не меняется. Скалярное произведение выражается через проекции векторов по формуле a·b = axbx + ayby + azbz. Скалярное произведение обозначают также ab или (a b), иногда (a, b).

Векторное произведение векторов.

Векторное произведение ab = c - вектор, модуль которого равен c = ab sin(a^b), вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах. Векторное произведение обозначается также [a b], иногда [a, b].

Функционал. [functional] (< лат. functio исполнение)

Числовая функция на некотором линейном пространстве (на пространстве функций) - отображение линейного пространства функций на числовое множество.

Например, функционалом является площадь, ограниченная замкнутой кривой данной длины.

Функционал представляет собой величину, зависящую от вида некоторой функции, например, определённый интеграл

b

I = f(x)dx

a

зависит от вида функции f(x).

Вариация [variation] (< лат. variatio - изменение) - дифференциал функционала.

Функционал Ф называют дифференцируемым, если

Ф(g + h) Ф(g) = F(h) + R(h, g),

где F(h) зависит от h линейно, а R(h, g) = O(h 2). Линейную часть приращения, F(h), называют дифференциалом или вариацией функционала.

Метод вариаций - метод исследования экстремальной задачи, основанный на малых смещениях аргумента и изучении того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название вариационное исчисление)

Термин вариация введён в математику Жозефом Лагранжем (Lagrange J., 1760) для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Немецким математиком и физиком - теоретиком Карлом Нейманом (Neumann C., 1875) было введено различие в обозначение вариации в виде x и полного дифференциала в виде dx.

Тело отсчёта

Тело отсчета - условно выбранное неподвижное или движущееся тело, относительно которого определяются положения исследуемых тел.

Система отсчёта. (0, e1, e2, e3, t)

Совокупность тела отсчёта с выбранной на нём точкой отсчёта и часов. В выбранной системе отсчёта можно использовать для удобства описания движения разнообразные системы координат (0, e1, e2, e3).

Система координат (карта). (0, e1, e2, e3)

Совокупность координат, взаимно однозначно соотнесённых элементам множества. Соответствие координат элементам множества является основой метода координат, истоками которого считают работы Пьера Ферма (Fermat P., 1636) и Рене Декарта (Descartes R., 1637).

Среди систем координат точек (точечные координаты) выделяют так называемые линейные координаты, в которых координатными линиями служат прямые. Такова, например, декартова прямоугольная система координат. Системы координат, для которых не все координатные линии прямые называются криволинейными координатами. Такие системы используются как на плоскости (например, полярные координаты, цилиндрические координаты, параболические координаты), так и на поверхности (геодезические координаты).

Система отсчёта.

Совокупность системы координат и часов, связанных с телом (тело отсчёта), по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких-либо других материальных точек или тел.

Система отсчёта инерциальная. (0, e1, e2, e3, t).

Понятие ввёл немецкий математик Карл Нейман (Neumann C., 1870)

Система отсчёта, в которой выполняется I-й закон Ньютона.


Система отсчёта неинерциальная. (0, e1(t), e2(t), e3(t), t)


Точка

Точка - абстракция тела в пределе уменьшения его размеров. Материальная точка - тело определённой массы, размерами которого можно пренебречь относительно характерных размеров в рассматриваемой задаче.

Положение точки

Радиус-вектор r(t) = xi(t)ei.

xi - координаты точки,

ei - базисные вектора.

3-вектор строчка xi = (x1, x2, x3) – ковариантный вектор.

3-вектор столбец

xi = = (x1, x2, x3)T - контравариантный вектор, знак T – знак транспонирования.

Пространство положений точки.

3-х мерное евклидово пространстволинейное (векторное), метрическое пространство.

Уравнение движения

Уравнение движения - уравнение, описывающее изменение состояния системы. Например, векторная функция времени r = r(t), определяющая радиус-вектор в произвольный момент времени. Векторному уравнению движения эквивалентна система уравнений для координат радиус-вектора. Уравнение движения может иметь форму так называемого дифференциального уравнения.

Кинематическое уравнение.

r = r(t) = xi(t)ei; xi = xi(t) - - явная форма уравнения движения, учитывающая параметры начального состояния (начальное положение и начальную скорость).

Траектория.

Пространственная кривая, описываемая движущейся точкой в пространстве.

Скорость, мгновенная (первый кинематический параметр).

v(t) = dr(t)/dt = dxi(t)/dt ei - предел, к которому стремится средняя скорость при dt 0 , т. е. производная от r(t) по t. Скорость в каждой точке направлена по касательной к траектории.

Ускорение (второй кинематический параметр) в инерциальной системе отсчёта.

a = dv(t)/dt = dvi(t)/dtei = d2xi(t)/dt2ei; - кинематический параметр – производная от скорости v(t) по t.

Разложение полного ускорения a на нормальную (центростремительную) an и касательную (тангенциальную) a составляющие.

a =a + an. В случае произвольного криволинейного движения ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальную a, направленную по касательной к траектории, и нормальную an, направленную по нормали к траектории (к центру кривизны траектории)

Тангенциальное ускорение.

|a| = |a×v|/v= d|v|/dt .

Нормальное ускорение.

an = v2/R = kv2, где R = 1/k – радиус кривизны, k = 1/R –кривизна.

Ускорение свободного падения g

Ускорение, сообщаемое телу силой тяготения Земли (силой гравитационного притяжения Земли). Ускорение свободного падения можно трактовать как напряжённость гравитационного поля. У поверхности Земли g 9,8 м/с2 . В задачах при оценках по порядку величину обычно полагают g 10 м/с2 .

Кривизна траектории.

k = 1/R =|a×v|/v3

Радиус кривизны траектории.

R = 1/k. - радиус окружности, предельно тесно соприкасающейся в данной точке к траектории. Величину k, обратную радиусу кривизны, называют кривизной.

Состояние точки.

{r(t), v(t)}или {r(t), p(t)}или

{qi(t), vi(t)} или {qi(t), pi(t)}

Пространство состояний (фазовое пространство) точки – 6N-мерное (2n-мерное) пространство (qi, vi) или (qi, pi), где N – число частиц, n – число степеней свободы.

Прилагательное «фазовое» связано с тем, что состояние системы называли и называют её фазами (от греч.  - появление).

(qi, vi)

В механике и статистической физике - многомерное пространство, в котором в качестве осей координат выбраны обобщённые координаты qi и обобщённые импульсы pi (i = 1, 2,..., n) системы с n степенями свободы (системы N частиц 2n = 6N). Таким образом, фазовое пространство имеет размерность 2n. Состояние системы изображается в фазовом пространстве точкой с координатами (q1 , p1 , ..., qn , pn ), а изменение состояния системы во времени - движением точки по линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определённому значению энергии E системы, образуют в фазовом пространстве (2n 1)-мерную поверхность (гиперповерхность), делящую пространство на две части - более высоких и более низких значений энергии. Поверхности различных значений энергии не пересекаются. Траектории замкнутой системы (с постоянной энергией) лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики. Такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистического описания состояния системы из многих частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма фазового пространства) и функции распределения системы - вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма.

Понятие фазового пространства - основное для классической статистической физики (механики), изучающей функции распределения системы из многих частиц.

Как математическое понятие впервые введено Джозайе Виллардом Гиббсом (Gibbs J. W., 1884).

Фазовая траектория.

Траектория в фазовом пространстве, соответствующая изменению состояния системы во времени - движению точки по линии.

Элементарное событие – точка псевдоевклидова пространства (4-вектор события).

x= (x0, x1, x2, x3) - контравариантные компоненты;

x= (x0, x1, x2, x3) - ковариантные компоненты

Псевдоевклидово пространство (пространство событий в СТО).

Термин введён Феликсом Клейном (Klein Felix) и Давидом Гильбертом (Hilbert David)

Вещественное линейное пространство, снабжённое не положительно определённым скалярным произведением a·b. Для псевдоевклидова пространства размерности n и индекса p аксиома положительной определённости скалярного произведения евклидова пространства заменяется следующей: существует n векторов ai , i = 1, ..., n, таких, что

ai.·aj = 0 , i j;

ai.·ai > 0 , i p;

ai.·ai < 0 , i > p.

Пару чисел (p, q), где q = np, называют сигнатурой. Псевдоевклидово пространство обозначают E(p, q). Для физики особенно важно пространство-время Минковского E(1, 3) , фигурирующее в теории относительности.

В псевдоевклидовом пространстве можно ввести операции векторного и тензорного анализа. Координаты, в которых метрический тензор g имеет вид

g = 0, ;

g = 1, p;

g = –1, > p ,

называют псевдоевклидовыми. В них скалярное произведение принимает вид

a·b = gxx.

Псевдоевклидов квадрат длины может быть отрицательным, а также нулевым (изотропные векторы). Совокупность изотропных векторов образует изотропный конус.

Движения псевдоевклидова пространства образуют n(n + 1)/2- мерную группу (для E(1, 3) - группу Пуанкаре). Тензор кривизны псевдоевклидова пространства равен нулю, как и евклидово, оно плоское.

Метрический тензор 4-х мерного псевдоевклидова пространства.

 = =

Переход от контравариантных к ковариантным компонентам и наоборот.

xx

xx

Квадрат длины интервала между событиями

S2 = xx = xxxx xxxxinv

Светоподобный интервал (изотропный вектор)

S2 = 0

Времениподобный интервал

S2 < 0

Пространственноподобный интервал

S2 > 0

Собственное время

= (S2)1/2 = inv

Преобразование Лоренца (буст вдоль оси x1) элементарного события.

x = xгде



или



ch = th

Artgпараметр скорости.

Релятивистский множитель (релятивистский фактор), множитель (фактор) Лоренца.

ch, = v/c = th

Параметр скорости.

Artg

Релятивистское преобразование времени (замедление хода часов)

t = 

Релятивистское преобразование продольных размеров (сокращение длин)

l =l0/

4-вектор скорости

U = dx/d= (, v) = (, vi), c = 1.

Масса

Мера инертности точки (тела), определённая в системе, в которой точка (тело) покоится.

Масса (гравитационный заряд) – источник гравитационного взаимодействия. Сила гравитационного взаимодействия точечных масс пропорциональна произведению их масс.

4-вектор импульса (4-импульс), (c = 1)

P =mU = (m, mv) = (E, p),

PP= m2,

E2 = m2 +p2

4-ускорение

W = dU/d=

4-сила

F = mW

Нерелятивистский импульс

p = mv [кгм/с], = 1

Сила

Сила - векторная величина, характеризующая взаимодействие тел. Под действием силы изменяется импульс тела. Действие нескольких сил вызывает такие же изменения импульса тела, как действие одной силы (равнодействующей), равной векторной сумме всех отдельных сил (принцип суперпозиции).

Импульс силы

Fdt с = кгм/с]

Импульс силы (j Fj)dt = Fср t - произведение вектора средней действующей силы на время действия.

Уравнение динамики движения точки (уравнение Ньютона)

dp/dt = F (t, r, v),

p = Fdt

mdv/dt = F (t, r, v)

Симметрии уравнения Ньютона.

Уравнение Ньютона инвариантно преобразованиям Галилея и инвариантно инверсии пространства и времени.

Принцип причинности


Закон сохранения импульса

Если вектор импульса внешних сил Fdt, действующих на систему, равен нулю Fdt = 0, то вектор импульса системы сохраняется p = const.

В более узком смысле: если вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю F = 0, то вектор импульса системы сохраняется p = const.

Сила гравитационного взаимодействия точечных масс

Две материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними

F12 = -(Gm1m2/r122)n12, n12 = r12/r12,

где G = 6,67·10 -11 кг-1м3с-2- гравитационная постоянная.

Упругая сила (закон Гука)

F = kxi

Сила трения покоя

Fтр. п N

Сида трения скольжения

Fтр. ск = N

Сила сопротивления при обтекании движущегося тела газом или жидкостью

F = k1v

F = k2 vv

Работа силового поля

A = F·dr [Дж = Н·м]

Консервативная сила

Работа консервативной силы не зависит от формы пути.

Циркуляция поля консервативной силы равна нулю.

Вихрь (ротор) поля консервативной силы равен нулю.

Потенциальная энергия

Потенциальная энергия системы в определённом (конечном) состоянии 2 равна потенциальной энергии этой системы в некотором (начальном) состоянии 1 минус работа поля консервативных сил при переходе системы из состояния 1 в состояние 2.

U2 = U1A1 2.

Потенциальная энергия тела массы m в однородном поле тяжести с напряжённостью поля g на высоте h от уровня нулевой потенциальной энергии.

U = mgh.

Потенциальная энергия пружины с жёсткостью k, растянутой (сжатой) на длину l.

U = k(l2)/2

Потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точечных масс при условии, что потенциальная энергия на бесконечном расстоянии между точками равна нулю.

U = -Gm1m2/r12

Неконсервативная сила

Циркуляция поля неконсервативной силы не равна нулю. Для активной силы она больше нуля, для диссипативной силы – меньше нуля.

Теорема о связи работы силового поля и изменения кинетической энергии

A1 2 = T2T1

Кинетическая энергия частицы массы m

T = m( 1), c = 1

T = mc2( 1), c 1

В нерелятивистском пределе

T = mv2/2 = p2/2m

Полная энергия частицы массы m

E = (m2 + p2)1/2, c = 1

E = (m2c4 + p2c2)1/2, c 1

Энергия покоя

E = mc2

Упругий удар

Удар, при котором кинетическая энергия тел до удара равна кинетической энергии после удара.

Неупругий удар

Удар, при котором кинетическая энергия тел до удара больше кинетической энергии после удара.

Абсолютно неупругий удар

Неупругий удар, после которого сталкивающиеся тела движутся совместно.

Вектор дифференциально малого поворота

dрад

Вектор угловой скорости

= d/dt [рад/с]

Вектор углового ускорения

= d/dt [рад/с2]

Момент импульса относительно точки

L = rp [кгм2с1] Джс

L = det= (x2p3x3p2)e1 + +(x3p1x1p3)e2 + (x1p2x2p1)e3

Li = ijk rjpk

ijk – полностью антисимметричный тензор 3-го ранга (тензор Леви-Чивита)

Li = Jijj

L = rpsin= ph, где – угол между векторами r и p, h = rsin - плечо импульса – кратчайшее расстояние между линией вектора импульса и точкой.

Полностью антисимметричный тензор 3-го ранка (тензор Леви-Чивита).

ijk = 1, если ijk =123, 312, 231;

ijk = –1, если ijk =213, 321, 132;

ijk = 0, если i = j или i = k или j = k.

Момент импульса относительно оси

Li = ijk rjpk= JpI

Тензор момента инерции

Jij =m(r2ij xixj) [кгм2]

Осевые моменты инерции

Jii =m(r2 xi2) [кгм2]

Центробежные моменты инерции

Jij = mxixj , i j[кгм2]

След тензора инерции (SpJ, TrJ ) – сумма диагональных элементов инвариант.

SpJ = I Jii =

= J11+ J22+ J33 = Jxx + Jyy + Jzz=

= 2mx2 + y2 + z2 =2J0

Момент инерции тела относительно точки

J0 =mr2 = mx2 + y2 + z2

J0 =r2dm = r2dV

Моменты инерции тела относительно ортогональных осей x, y, z

Jx =m(y2 +z2) = m(rx)2 = (rx)2dV

Jy =m(x2 +z2) = m(re)2 = (ry)2dV

Jz =m(x2 +y2) = m(rz)2 = (rz)2dV

Связь момента инерции тала относительно точки (J0) с моментами инерции относительно ортогональных осей (Jx, Jy, Jz)

Jx + Jy + Jz = 2 J0

Сумма моментов инерции относительно любых трёх перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, зависит только от положения этой точки и не меняется при изменении ориентации осей (при повороте осей).

Теорема Гюйгенса-Штейнера (теорема о переносе осей)

J = Jcm + ma2

Осевые моменты инерции конкретных тел относительно оси, проходящей через центр масс:

Тонкое кольцо радиуса R, массой m

J = mR2 (ось перпендикулярны плоскости кольца)

J = (1/2)mR2 (ось совпадает с диаметром кольца)

Тонкостенная труба радиуса R, массой m

J = mR2 (ось совпадает с осью симметрии трубы)

Сплошной однородный диск радиусом R массой m

J = (1/2)mR2(ось перпендикулярны плоскости кольца, диск произвольной толщины)

Сплошной однородный тонкий диск радиусом R массой m

J = (1/4)mR2(ось совпадает с диаметром диска)

Полый шар радиусом R массой m

J = (2/3)mR2.

Сплошной однородный шар радиусом R массой m

J = (2/5)mR2.

Однородный стержень длиной l, массой m

J = (1/12)ml2

Момент силы

M = rF [кгм2с2] Дж = Н·м

M = det= (x2F3x3F2)e1 + +(x3F1x1F3)e2 + (x1F2x2F1)e3

Mi = ijk xjFk, где ijk – полностью антисимметричный тензор 3-ранга (тензор Леви-Чивита).

Mi = Jpjj

M = rFsin= Fh, где – угол между векторами r и F, h = rsin - плечо силы – кратчайшее расстояние между линией ектора силы и точкой.

Уравнение динамики вращения вокруг неподвижной точки

dL/dt = M,

L = Mdt

Закон сохранения момента импульса

Если импульс момента внешних сил равен нулю Mdt = 0, то момент импульса сохраняется L = const.

В более узком смысле: если момент внешних сил равен нулю M = 0, то момент импульса сохраняется L = const.

Уравнение динамики вращения вокруг движущейся точки

dL/dt = M (dr0/dt)p = M v0p

dL/dt = M mv0vcn

Уравнение динамики вращения вокруг движущегося центра масс

dL/dt = M,

Уравнение динамики вращения вокруг оси

dLi/dt = Mi,

Li= Iii

Jii = Mi,

i = di/dt

Работа момента сил при повороте тела

A = d

Кинетическая энергия вращающегося тела

T = (1/2)Jijjj = L·/2


Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси i

T j = (1/2)Jj j2 = Li2/(2Ji)

Вириал сил, действующих в системе.

[virial] (нем. Virial, от лат. vires, мн. ч. от vis - сила)

(1/2)<r·F> [Дж] - взятая с обратным знаком половина суммы скалярных произведений радиусов векторов ri точек системы на вектора сил Fi, действующих в этих точках.

Теорема вириала

(Рудольф Клаузиус, Clausius R., 1870)

В случае финитного движения среднее по времени значение кинетической энергии равно среднему по времени значению вириала сил

<T> = (1/2)<r·F>

или

в случае финитного движения удвоенное среднее по времени значение кинетической энергии равно среднему по времени значению потенциальной энергии, умноженному на n, где n – степень зависимости потенциальной энергии взаимодействия частиц в системе от расстояния между частицами (U `~ rn):

2<T> = n<U>

или

(2 +n)<T> = n<E>,

где E = T + U – полная энергия.

Уравнение динамики движения в неинерциальной системе отсчёта

F + Fинц = ma',

где

Fинц = m(a0+ 2v' +r' r')

a0переносное ускорение,

2v' - кориолисово ускорение,

r' - центростремительное ускорение

CPT-преобразования.

C = .

P =

T = .

CPT-преобразования.

C = .

P =

T = .

Сила, действующая на точечный заряд q в магнитном поле индукции B (сила Лоренца).

F = qvB. [Н]

Сила, действующая на точечный заряд q в электрическом поле напряжённости E (сила Кулона).

F = qE

Скорость света (в вакууме).

с = (00)1/2 = 299 792 458 м/с. (точно)

Уравнение релятивистской динамики точечного заряда в электромагнитном поле.

dp/dt = q(E + vB).

dP/d = qFu. dU/d = (q/m)FU.

P = mU = (E, p) = (m, mv)


Случайные файлы

Файл
113636.rtf
29615.rtf
170193.rtf
17440.rtf
11016.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.