Основи теорії графів. Властивості ойлерових та гамільтонових графів (86405)

Посмотреть архив целиком
















КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни

Алгебра та теорія чисел”

за темою

Основи теорії графів.

Властивості ойлерових та гамільтонових графів



ЗМІСТ


ВСТУП

РОЗДІЛ І ВВЕДЕННЯ В ТЕОРІЮ ГРАФІВ

1.1 Основні поняття та означення

1.2 Лема про рукостискання

1.3 Оцінки для числа ребер з компонентами зв язності

1.4 Орієнтовані графи, графи з петлями, графи з паралельними дугами

РОЗДІЛ ІІ ОЙЛЕРОВІ ГРАФИ

2.1 Ойлерова ломиголовка «Кенігзберзьких мостів»

2.2 Основні поняття та означення ойлерових графів

2.3 Приклади ойлерових графів

РОЗДІЛ ІІІ ГАМІЛЬТОНОВІ ГРАФИ

3.1 Сутність гамільтонових графів

3.2 Основні поняття та означення

3.3 Приклади гамільтонових графів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ



ВСТУП


Роком виникнення теорії графів одностайно вважається рік 1736, коли Леонард Ойлер опублікував розв’язок так званої задачі про кенігсберзькі мости, а також знайшов загальний критерій існування ойлерового циклу в графі.

Отримання дальших суттєвих результатів у цій галузі датують серединою ХIХ століття. Однак початок проведення активних систематичних досліджень та становлення теорії графів як окремішного авторитетного розділу сучасної математики відбулося ще майже 100 років по тому, тобто в середині ХХ століття. Саме з цього часу граф стає однією з найпоширеніших і найпопулярніших математичних моделей у багатьох сферах науки і техніки. Картинка у вигляді набору точок на площині та ліній, проведених між деякими з них, стала зручною і наочною формою зображення найрізноманітніших об’єктів, процесів та явищ.

Великою мірою це пов’язано з виникненням, бурхливим розвитком та поширенням електронних обчислювальних машин і, як наслідок, значним зростанням ролі задач дискретного характеру. Математика від "обслуговування" переважно фізики переходить до проникнення своїх методів у інші сфери людської діяльності. Одним з потужних інструментів такого проникнення є граф.

Із суто формальної точки зору граф можна розглядати як один з різновидів алгебраїчної системи (а саме, як модель), а отже, і всю теорію графів  як розділ сучасної алгебри. Справді, результати та методи алгебри широко використовуються в теорії графів. Однак за останні півстоліття активного інтенсивного та екстенсивного розвитку теорія графів виробила свою достатньо специфічну власну проблематику і методологію. На сьогодні теорія графів є однією зі складових математичного апарату кібернетики, важливим розділом дискретної математики.

В курсові роботі досліджені властивості ойлерових та гамільтонових ланцюгів та циклів в теорії графів, а також наведені приклади графів.



РОЗДІЛ І ВВЕДЕННЯ В ТЕОРІЮ ГРАФІВ


1.1 Основні поняття та означення


Основні елементи геометричних фігур, які застосовуються у теорії графів наведені на рис.1. та складаються з вершин графу, ребер графу та дуг графу.

Сполучення цих елементів визначає поняття: неорієнтований граф, орієнтований граф та змішаний граф [6].


Рис.1.1. Основні елементи графу (вершина, ребро, дуга)


Неорієнтований граф (неограф) — це граф (рис.1.2), для кожного ребра якого несуттєвий порядок двох його кінцевих вершин.




Рис.1.2. Неорієнтований граф (вершини та ребра)

Орієнтований граф (орграф) — це граф, для кожного ребра якого істотний порядок двох його кінцевих вершин. Орграф представлений на рис.1.3, ребра орграфа іноді називають дугами.




Рис. 1.3. Орієнтований граф




Рис. 1.4. Змішаний граф


Змішаний граф (рис.1.4) – це граф, що містить як орієнтовані, так і неорієнтовані ребра. Кожної з перерахованих видів графа може містити одне або кілька ребер, у яких обидва кінці сходяться в одній вершині, такі ребра називаються петлями (рис.1.5).





Рис. 1.5. Змішаний граф з петлями




Рис. 1.6. Загальний випадок графа


У загальному випадку множина ребер може складатися із трьох непересічних підмножин: підмножини ланок, підмножини дуг і підмножини петель (рис.1.6).


Рис.1.7. Сутність геометричної конфігурації графа, в якому всі вершини можна обійти за маршрутом без перетинання ребер графу


Наочно граф можна уявляти як геометричну конфігурацію ( див. рис.1.7), яка складається з точок (вершин графу 1,2,3,4,5,6) і ребер (ліній або відрізків №1(1-3), №2(3-4), №3(4-5), №4(3-5), №5(2-3), №6(2-5), №7(5-6), №8(6-2), №9(2-1), які сполучають деякі точки (вершини) за вибраним алгоритмом обходу вершин графу) [5].

Дамо формальне математичне означення графа згідно [11].

Нехай –деяка скінченна множина (множина вершин), - множина всіх невпорядкованих пар елементів (ребер або дуг графу) з множини вершин, .

Означення 1.1.

Граф – пара множин

. Множина –це множина вер-шин, множина

це множина ребер. Якщо , то ми говоримо, що ребро

сполучає вершину з вершиною ; інша термінологія – ребро і вершини та - інцидентні.

Означення 1.2.

Граф називається повним , якщо

, тобто граф складається з максимально можливої кількості ребер, які попарно з’єднують точки його вершин (див.рис.1.8). Якщо множина містить вершин, то, очевидно , число ребер повного графа дорівнює .


Рис.1.8. Приклади повних графів


Означення 1.3.

Граф називається порожнім, якщо , тобто граф не має ребер (див.рис.1.9).

Рис.1.9. Приклад побудови 3-х вершинного графу з різною кількістю ребер (заповнення графу від «порожнього» до «повного»)


Природно виникає питання: скільки є різних графів з множиною вершин , якщо . Для цього доведемо наступну теорему.

Теорема 1.1.

Число усіх різних графів з вершинами дорівнює (табл.1.1):



Доведення. Справді, граф повністю визначено, якщо вказано множину

, яка є підмножиною . Множина містить елементів, тому число усіх її підмножин дорівнює .


Таблиця 1.1

Зображення повних графів з кількістю вершин від 5 до 11 [3]

Означення 1.4.

Вершини та графа інцидентні, якщо

.

Означення 1.5.

Степенем вершини графа називається число вершин

, які інцидентні вершині ( число відрізків які виходять з вершини ) – див.рис.1.10.


Рис.1.10. Визначення степенів вершин графу по кількості ребер, що виходять із вершин


Означення 1.6.

Якщо , то вершина називається кінцевою вершиною графа . Якщо

, то вершини називається ізольованою(див рис. 1.11)


Рис.1.11. Визначення кінцевих та ізольованих вершин графа


1.2 Лема про рукостискання


Формулювання цієї леми просте – „кількість рук, що приймають участь у рукостисканні N-пар людей, дорівнює 2*N”. Лему можна представити у формі графу, де N вершин з’єднані ребрами d(xi,xj) рукостискання i та j – вершин (див. рис.1.12), виконавши наступне доведення.


Рис.1.12. „Лема про рукостискання” 5 осіб у вигляді графу „взаємно-простягнутих рук” (10 пар рук для повної множини рукостискань) [3]


Нехай граф з множиною верщин

. Тоді


(1.1)

Доведення. Зауважимо,що кожне ребро графа в сумі враховується двічі (див. рис.1.5), і тому спараведива рівність (1.1). Зауважимо, що сума сту-пенів усіх вершин у графі (або мультіграфі без петель) повинна бути парною. Це випливає з того, що якщо взяти вершини, взагалі не пов'язані одна з одною, то сума ступенів цих вершин дорівнює нулю. Додаючи будь-яке ребро, що пов'язує дві вершини, збільшуємо суму всіх ступенів на 2 одиниці. Таким чи-ном, сума всіх ступенів вершин парна. З рівності 1.1 випливає такє твердження: число вершин непарного степеня в графі обовязково є парним числом.

Для визначення матриці суміжності, розглянемо граф . Нехай



Означення 1.7.

Матриця називається матрицею суміжності ( інцидентності) графа .

Матриця суміжності - це симетрична матриця, елементи якої до-рівнюють нулеві або одиниці ( діагональні елементи дорівнюють нулеві) і така, що сума чисел в будь-якому рядку і будь-якому стовпці дорівнює степені від-повідної вершини. Так, для графу, наведеного на рис.1.13, матриця суміжності побудується у вигляді:


Рис.1.13. До побудови матриці суміжності 3-х вершинного графу


Означення 1.8.

Послідовність ребер, в якій сусідні ребра інцидентні одній і тій же вершині називаються ланцюгом. Ланцюг називається простим, якщо всі вершини, належні йому (крім, можливо, першої і останньої), різні; число в цьому випадку називають довжиною ланцюга.

Якщо , то ланцюг називається циклом. Цикл, в якому всі вершини різні, називається простим. Приклади простих ланцюгів та простих циклів наведені на рис.1.14:

(1,3), (3,4), (4,6) – простий ланцюг;

(1,2), (2,5), (5,6) – простий ланцюг;

(1,3), (3,4), (4,6), (6,5), (5,2)Ю (2,1) – простий цикл.


Рис 1.14. Приклад графа з простими ланцюгами та простими циклами


Означення 1.9.

Граф є підграфом графа , якщо

.Якщо , то підграф називається остовним підграфом.

Означення 1.10.

Граф є сумою графів

, якщо

ця сума називається прямою, якщо ,


1.3 Оцінки для числа ребер з компонентами зв язності


Означення 1.11.

Граф називається зв язним , якщо будь-які вершини

та сполучені ланцюгом з початком в і кінцем в . З симетрії випливає, що в цьому випадку і вершина сполучена з вершиною .

Теорема 1.2.

Кожен граф є прямою сумою зв язних графів.

Доведення. На множині вершин граф визначимо відношення

, якщо сполучається з .Відношення є відношенням еквівалентнос-ті. Позначимо через .Тоді і є розбиття на класи еквівалентності. Графи є зв язними графами і


(1.2)


є прямою сумою звязних графів.

Ці графи називаються компонентами звязності.

Розглянемо оцінки для числа ребер з компонентами звязності.

Теорема 1.3.

Нехай граф, який складається з

вершин, ребер і компонент зв язності. Тоді виконуються нерівності



Доведення . Доведемо спочатку нерівність .Будемо доводити індукцією за числом ребер. Припустимо, що нерівність справедлива для всіх графів з числом ребер . Нехай граф з

вершин, ребер і

компонентами зв’язності. Викреслимо максимальне можливе число ребер так, щоб не змінювалося число компонент звязностя. Число ребер в отриманому графі позначемо .

Розглянемо для прикладу граф, зображений на рисунку (1.15)


Рис. 1.15. Приклад 1 графу для оцінки зв’язності


В ньому .Викресливши два ребра, отримаємо граф . Викреслити далі яке-небудь ребро, не порушуючи зв язності, вже не можна (див.рис.1.16).



Рис. 1.16. Приклад 1 графу для оцінки зв’язності


Повернемося до графу, отриманого з . Викресливши в ньому ще одне ребро, ми отримаємо граф з числом компонент зв язності на одиницю більшим. В силу індуктивного припущення, справедливого, бо

, маємо , звідки .

Для доведення верхньої оцінки в нерівності (1.3) замінимо кожну компо-ненту повним графом. Нехай та два повних, отриманих з компонент зв язності та , а та число ребер в цих компонентах . Замінемо на повний граф, додавши одну вершину, а замінемо на повний граф, віднявши одну вершину. Тоді загальне число вершин не змінеться, а число ребер збільшиться на додатню величину



Отже, для того, щоб число ребер у графі було максимально можливим (при фіксованих

і ), граф повинен складатись з

ізольованих вершин і повного графа з вершинами.Звідси й випливає нерівність (1.3). Теорема доведена.

З нерівності (1.3) випливає такий наслідок.

Наслідок. Будь-який граф з і більше ніж ребрами є зв’язним.

Справді, якщо граф з вершинами має дві компоненти звязності, то максимальне число ребер не перевищує .

Найти компоненти сильної зв’язності графу на рис.1.17.



Відповіді

Рис.1.17. 7-ми вершинний граф для обчислення компонентів зв’язності [10]


1.4 Орієнтовані графи, графи з петлями, графи з паралельними дугами


Дамо означення орієнтованих графів, графів з петлями та графів з пара-лельними дугами.

Неформально, граф виглядає як діаграма, тобто множина точок площини (вершин, або вузлів), з’єднаних між собою лініями (ребрами). Діаграма дає уяву про зв’язки між елементами (вершинами), але нічого не каже про метричні властивості (довжина ліній, їх форма тощо).

Залежно від типу ребер відрізняють кілька типів графів. Петля — це реб-ро, що з’єднує вершину саму з собою. У мультиграфі петлі не допускаються, але пари вершин можуть з’єднуватися кількома ребрами, які називаються крат-ними, або паралельними. У псевдографі допускаються петлі й кратні ребра. В звичайному графі немає ні петель, ні кратних ребер.

За допомогою графів подаються структурні залежності між елементами, відповідний граф називається орієнтованим, або орграфом, а його орієнтовані ребра — дугами. Граф, що має орієнтовані та неорієнтовані ребра одночасно, називається змішаним.


Рис.1.18. Види орієнтованих графів


Означення 1.12.

Нехай множина вершин , - множина впорядкованих пар елементів з ( будемо називати їх дугами).Орієнтованим графом називатимемо пару множин

, де .

Дуга називається дугою з в (див.рис.1.19).


Рис. 1.19. Орієнтований 3-х вершинний граф (,


.)


Теорема 1.4. Число усіх орієнтованих графів з вершинами дорівнює .

Доведення . Справді , число впорядкованих пар елементів з дорівнює , тому число всіх можливих множин дуг дорівнює .

Означення 1.13.

Нехай -множина вершин. Орієнтованим графом з петлями будемо називати пару множин , де (див.рис.1.20).


Рис.1.20. Орієнтований граф з петлями в якому ,


Теорема 1.5. Число орієнтованих графів з петлями , які мають вершин, дорівнює .

Доведення. Справді, число різних множин (підмножин множини ) дорівнює .

Якщо розглядається одночасно декілька типів графів, то графи які описуються означення (1.1), будемо називати простими графами.

Якщо в означенні (1.1) до множини невпорядкованих пар приєднати ще множину всіх пар виду , то відповідний граф називається простим графом з петлями.

З теореми 1.5 випливає довід теореми 1.6 про прості графи.

Теорема 6. Число всіх простих графів з вершинами і петлями дорівнює



Надалі, ми будемо розглядати прості графи.



РОЗДІЛ ІІ ОЙЛЕРОВІ ГРАФИ


2.1 Ойлерова ломиголовка «Кенігзберзьких мостів»


Для рішення серйозних математичних задач математик Ойлер(Euler) використовував наочні ломиголовки. Одна з них поклала початок зовсім новій області досліджень, що виросла згодом у самостійний розділ математики - теорію графів і топологію. Особливість цієї теорії - у геометричному підході до вивчення об'єктів.

Теорія графів – одна з небагатьох математичних дисциплін, дата народження якої може бути встановлена абсолютно точно.

Перша робота з теорії графів належить Леонарду Ойлеру. Вона з’явилась в публикаціях Санкт-Петербургзської Академії наук у 1736 році.

Праця Ойлера розпочиналася з розгляду однієї ломиголовки так званої „задачі про кенігзберзькі мости”

Місто Кенігзберг (нині Калінінград) розташоване на берегах річки Прегель і двох островах. Різні частини міста сполучені сімома мостами. Щонеділі жителі міста любили здійснювати прогулянки по місту. Ойлер поставив питання: чи можна здійснити прогулянку, вийшовши з дому і повернувшись до нього , таку , щоб по кожному мосту пройти рівно один раз.

Сформулюємо задачу, як задачу теорії графів. Схематична карта міста зображена на рисунку 2.1..


Рис. 2.1. Схема мостів в Кенігзберзі [11]


Чотири частини міста зображені літерами Оскільки нас цікав-лять лише переходи через мости, ми можемо вважати вершинами графа, ребра якого відповідають мостам. Цей граф зображено на рисунку 2.2.


Рис. 2.2. Граф «Кенігзберзьких мостів» в ломи головці Ойлера


Ойлер зауважив, що цей граф не являє єдиного циклу; з якої б вершини ми не почали б обхід , ми не можемо обійти весь граф і повернутись назад, не проходячи жодного ребра двічі. Якби такий цикл існував, то з кожної вершини виходило б стільки ребер , скільки в неї входить , інакше кажучи степінь кожної вершини була б парним числом. Таким чином, відповідь на питання Ойлера-негативна.

Виклавши розв язання задачі про кенігзберзькі мости , Ойлер в своїй праці поставив питання : на яких графах можна знайти цикл, який містить всі ребра графа, при чому кожне ребро зустрічається в циклі рівно один раз?

Це дало початок системному математичному підходу до побудови та вивчення властивості графів.


2.2 Основні поняття та означення ойлерових графів


Означення 2.1

Зв’ яний граф називається ойлеровим графом, якщо існує замкнений ланцюг, який проходить через кожне ребро.Такий ланцюг будемо називати ойлеровим ланцюгом, або ойлеровим циклом (див.рис.2.3)


Рис.2.3. Структура вершин та ребер в неорієнтованому ойлеровому графі (* - означено точку входу ойлерового ланцюга - циклу)


Означення 2.2

Граф називається напівойлеровим, якщо існує ланцюг , який проходить через кожне його ребро рівно один раз (див рис.2.4).


Рис.2.4. Структура вершин та ребер в неорієнтованому напівойлеровому графі (* - означено точку початку та кінця ойлерового ланцюгу)


Рис.2.5. Приклад неойлерового графу


Дослідивши структуру неойлерового графу, наведеного на рис.2.5, розг-лянемо необхідні і достатні умови для того, щоб граф був ойлеровим. Доведемо лему, яка далі буде грати істотну роль.

Лема 2.1

Якщо степінь кожної вершини графа не менше двох , то граф містить цикл.

Доведення. Якщо в графі є петлі або кратні дуги, то твердження леми оче-видне. Тому надалі будемо припускати , що є простим графом. Нехай

довільна вершина графа . Побудуємо по індукції маршрут



обираючи вершину , суміжну з , а при обираючи вершину , суміж-ну з і відмінну від (існування такої вершини випливає з умови леми). Оскільки має скінченне число вершин, то врешті-решт ми прийдемо до вершини

, з якої вийшли. Отримаємо цикл

Лема доведена.

Теорема 2.1 Для зв’язного графа наступні умови еквівалентні:

  1. - ойлерів граф;

  2. кожна вершина має парний степінь;

  3. множину ребер графа можна розбити на прості цикли.

Доведення.

Нехай - ойлерів цикл графа . Будемо рухатись по циклу

. Проходження кожної вершини збільшує степінь кожної вершини на 2, і оскільки кожне ребро входить в рівно раз , то будь-яка вершина має парний степінь .

Оскільки - зв’язний граф , степінь кожної вершини дорівнює принаймні 2; тому в силу леми 2.1 містить простий цикл

. Виключимо ребра циклу , отримаємо остовний підграф , в якому кожна вершина має парний степінь. Якщо немає ребер , то (3) доведено. В протилеж-ному випадку застосуємо проведені вище міркування до , отримаємо граф , в якому степені всіх вершин є парними і так далі. Одночасно з порожнім графом , отримаємо розбиття множини ребер на

циклів

Нехай множину ребер можна розбити на прості цикли. Нехай – один з простих циклів. Якщо складається тільки з цього циклу , то -ойлерів граф. В протилежному випадку існує інший простий цикл, який має вершину

, спільну з . Ланцюг, який розпочинається з і складається з циклу і наступного за ним циклу , є замкненим ланцюгом, який містить всі ребра графа , кожне один раз . Отже , - ойлерів граф.

З теореми 2.1 випливає наступна теорема.

Теорема 2.2. Зв’язний граф є ойлеровим тоді і тільки тоді, коли кожна його вершина має парний степінь.


.

Рис.2.6. Приклад ойлерового графу в теоремі 2.2


Доведення. Граф зображений на рисунку 2.6. є ойлеровим, оскільки

  1. Степінь вершин А, F, D, C, Q = 4(парні);

  2. Степінь вершин B, E = 2(парні);

  3. Множина ребер цього графа є об єднання двох простих циклів

і .

Теорема 2.3. Зв’язний граф є напівойлеровим тоді і тільки тоді , коли в ньому не більше двох вершин непарного степеня.


Рис. 2.7. Приклад напівойлерового графу до теореми 2.3


Доведення. Граф зображений на рисунку 2.7. є нпівойлеровим, оскільки

  1. Степінь вершин А, F, C = 4(парні);

  2. Степінь вершин B = 2(парна);

  3. Степінь вершин E,D = 3(непарна);

  4. Ось один з можливих варіантів обходу . Початковою точкою маршрута є точка , а кінцевою є точка .

Якщо граф має дві вершини з непарними степенями (див.рис.2.7), то для будь-якого напіойлерового ланцюга одна з цих вершин буде початковою, а дру-га кінцевою. Для доведення досить сполучити відрізком вершини з непарними степенями.

Зауважимо , що згідно з «лемою про рукостискання» - число вершин непарного степеня є парним.

Спробуємо для довільного графа вказати найменше число ланцюгів та-ких, що жодні два не мають спільних ребер і всі вони повністю накривають ра-зом весь граф. Очевидно, якщо на графі є таке сімейство ланцюгів , то кожна вершина непарного степеня повинна бути або початковою, або кінцевою вер-шиною якогось ланцюга. Загальне число вершин з непарним степенем згідно з лемою про рукостискання є парним, скажімо рівним . Таким чином, кожне сімейство ланцюгів, які накривають граф , повинно містити принаймні лан-цюгів.

Доведемо, що існування вершин з непарним степенем є і достатньою умовою існування ланцюгів, які накривають граф.

Теорема 2.4. На будь-якому зв’язному графі з вершинами непарного степеня існує сімейство ланцюгів, які в сукупності містять всі ребра графа в точності один раз кожне.

Доведення. Позначимо вершини з непарними степенями

Якщо ми додамо до нашого графу ребра

то всі вершини отриманого графа будуть парними і на ньому знайдеться ойле-рів цикл . При відкиданні доданих ребер цикл розпадеться на окремих ланцюгів , які містять всі ребра графа.

Граф , зображений на рисунку 2.8 має чотири вершини з непарним степе-нем і накривається двома ланцюгами і