Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (86300)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный университет

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра информатики и математики




КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине «Математический анализ»

на тему:

Дифференцирование в линейных нормированных пространствах






Выполнила: студентка 393 гр.

Жукова И.А.

Проверил: доцент кафедры МиИ

Салтанова Т.В.






Тюмень 2010





Оглавление


Введение

Основные понятия

Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)

Слабый дифференциал (дифференциал Гато)

Формула конечных приращений

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Дифференцируемые функционалы

Абстрактные функции

Интеграл

Производные высших порядков

Дифференциалы высших порядков

Формула Тейлора

Заключение1

Список литературы:






Введение


Функциональный анализ — раздел математики, в котором изучаются бесконечномерные пространства и их отображения.

Понятие нормированного пространства – одно из самых основных понятий функционального анализа. Теория нормированных пространств была построена, главным образом, С. Банахом в 20-х годах 20 века. Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит дифференцирование линейных нормированных пространств.




Основные понятия


Определение 1. Непустое множество называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Й. Для любых двух элементов однозначно определен элемент , называемый их суммой, причем


1. (коммутативность)

2. (ассоциативность)


В существует такой элемент 0, что для всех

4. Для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем


5.

6.


III. Операции сложения и умножения связаны между собой дистрибутивными законами:


7.

8.


Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если на нем задана неотрицательная функция , называемая нормой, удовлетворяющая условиям:






для любого и любого числа ;



для любых (неравенство треугольника).

Определение 3. Оператором называется отображение


,


где - это линейные пространства.

Определение 4. Оператор называется линейным, если для любых элементов и любых чисел R выполняется равенство:



Определение 5. Пусть - линейные нормированные пространства,

линейный оператор,



Линейный оператор непрерывен в точке , если из того, что


следует, что .


Определение 6. Линейный оператор непрерывен, если он непрерывен в каждой точке .

Определение 7. Линейный оператор называется ограниченным, если



Утверждение. Для линейного нормированного пространства непрерывность линейного оператора равносильна его ограниченности.

Определение8. Наименьшая из констант M таких, что , называется нормой оператора А и обозначается .

В частности, выполняется



Справедливо следующее утверждение: для любого ограниченного линейного оператора



Сильный дифференциал (дифференциал Фреше)


Пусть X и У — два нормированных пространства и F — отображение, действующее из X в Y и определенное на некотором открытом подмножестве О пространства X. Мы назовем это отображение дифференцируемым в данной точке, если существует такой ограниченный линейный оператор Lxж (X, Y), что для любого е> 0 можно найти д > 0, при котором из неравенства ||h||< д следует неравенство






|| F(x + h)-F(x)-Lxh ||<е||h|| (1)


То же самое сокращенно записывают так:


А(ч + р)-А(ч)-Дчр = щ(р)ю(2)


Из (I) следует, что дифференцируемое в точке х отображение непрерывно в этой точке. Выражение Lxh (представляющее собой, очевидно, при каждом hX элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреше) отображения F в точке х. Сам линейный оператор Lx называется производной, точнее, сильной производной отображения F в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом F'(x).

Если отображение F дифференцируемо в точке, то соответствующая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство


||L1h L2h|| = o(h) для операторов

Li ж (X, У), i = 1, 2,


возможно, лишь если L1= L2.

Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.


Если F(x) = y0 = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)


в этом случае есть нулевой оператор).

Производная непрерывного линейного отображения L есть само это отображение:






L '(x)=L (3)



Действительно, по определению имеем


L(x + h)-L(x) = L(h).


3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z — три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х0Х, F — отображение этой окрестности в У, у0 = F(x0), V(yo) — окрестность точки у0 У и G — отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение F дифференцируемо в точке хо, a G дифференцируемо в точке уо, то отображение Н = GF (которое определено в некоторой окрестности точки х0) дифференцируемо в точке хо и


H' (x0)=G' (y0)F' (x0) (4)


Действительно, в силу сделанных предположений


А(ч0 +о) = А(ч0) + Аэ 0) о1 (о ) и

G о + з) = G о) + G' о) з + о2 (з).


Но F'(x0) и G'(yo) — ограниченные линейные операторы. Поэтому


H (х0 + о) = G о + F' (x0) о + о1 о ) = G о) + G' 0) (F' 0) о + +о1 о)) +

2 (F' (x0) о + о1 (о )) = G 0) + G' (уо) F' 0) о + о3 (о).


Если F, G и Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.

4. Пусть F и G — два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если F и G дифференцируемы в точке х0, то и отображения F + G и aF (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем



(F + G)'0) = F'0) + G'0) (5)

(aF)'(x0) = aF'(x0).(6)


Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что


(F+G)(x0 + h) = F(x0 + h) + G(x0 + h) = F 0) + G 0) + F' 0) h +

+G' 0) h + o1 (h) и

aF (x0 + h) = aF (x0) + aF' (x0) h + o2 (h),


откуда следуют равенства (5) и (6).


Слабый дифференциал (дифференциал Гато)


Пусть снова F есть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения F в точке х (при приращении h) называется предел


DF(x,h)=t=0=,


где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У.

Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h) называют первой вариацией отображения F в точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h) может и не быть линеен по h. Если же такая линейность имеет место, т. е. если






DF (х, h) = F'c (х) h,



где F'c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.


Формула конечных приращений


Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х0, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, F есть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'c в каждой точке отрезка [х0, x]. Положив Дх = х — хо и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию


f(t) = (F(x0+t Дх)),


определенную при .Эта функция дифференцируема по t. Действительно, в выражении



можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем


F'(t) = (F'c(x0+tДx) Дx)






Применив к функции f на отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим


f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x0))= ( F'c(x0+ и Дx) Дx)(7)


Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем


|(F(x)-F(x0))| || F'c(x0+ и Дx)|| || Дx|| (8)


Выберем теперь ненулевой функционал так, что


(F (х) - F 0)) = |||| || F (х) - F (хо) ||


(такой функционал существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем


||(F (х) - F (x)|| || F'c(x0+ и Дx)|| ||Дx|| (Дx =x-x0) (9)


Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению


х —Ю А (х) — Аэс о) Дч


получим следующее неравенство:


||F(x-Fо)-F'c о) Дx || || F'c(xo+иДx) -F'c(x0) |||| Дx || (10)





Связь между слабой и сильной дифференцируемостью


Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции


f(x) = f(x1,…,xn)


при n 2 из существования производной



при любом фиксированном h = (f1,...,fn) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x) в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.

Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных


(11)




Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (0,0). В точке (0,0) ее слабый дифференциал существует и равен 0, поскольку



Вместе с тем этот дифференциал не является главной линейной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить h2=h12, то



Однако если отображение F имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем


А(ч + ер) — А (ч) = Аэ (ч) (ер) + о (ер) = еАэ (ч)р +о (ер) и


Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения F следует его сильная дифференцируемость.

Теорема 1. Если слабая производная F'c (х) отображения F существует в некоторой окрестности U точки х0 и представляет собой в этой окрестности (операторную) функцию от х, непрерывную в x0, то в точке x0 сильная производная F'(x0) существует и совпадает со слабой.

Доказательство. По е>0 найдем д>0 так, чтобы при ||h||< д бвыполнялось неравенство:


|| F'c(xo + h)-F'c(xo) || е


Применив к отображению F формулу (10), получим:


|| F(x0 + h)-F о) - F'c о) h || ||F'c(xo + иh)- F'c(xo)||

||h|| е||h||





Тем самым имеет место теорема 1, т. е. доказано как существование сильной производной F'(xо), так и ее совпадение со слабой производной.


Дифференцируемые функционалы


Мы ввели дифференциал отображения F, действующего из одного нормированного пространства X в другое нормированное пространство У. Производная F'(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из X в У, т. е. элемент пространства о(X, У). В частности, если У — числовая прямая, то F — принимающая числовые значения функция на X, т. е. функционал. При этом производная функционала F в точке х0 есть линейный функционал (зависящий от х0), т. е. элемент пространства X*.

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x) = ||х||2. Тогда


||x + h||2-||x||2 = 2(x, h) + || h ||2;


величина 2(x,h) представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,


F' (x) = F'c(x) = 2х.


Абстрактные функции


Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.


Интеграл


Пусть F — абстрактная функция действительного аргумента t со значениями в банаховом пространстве У. Если F задана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции F по отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм


,


отвечающих разбиениям


ф = е0Бе1Б ююю Бет = иб олхелбел+1ъб


при условии, что max(tk+1-tk) 0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом



Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.






Производные высших порядков


Пусть F — дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x) при каждом xX есть элемент из о (X, У), т. е. F' есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:


В (x1 + х2, ) =В (,)+В2, ),

В (x1, +) = В (,)+В(x1, );


2. существует такое положительное число М, что


||В(х, х') || M||x||||x’|| (17)


при всех х, х' X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х2, У). При полноте У полно и В(Х2, У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х2, У), положив


В(х, х') = (Ах)х'.(18)


Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X2,Y). Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то


||y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,


откуда


||B||||A||(19)


С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xXотображение


х'→ (Ах)х' = В(х, х')


есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому xX ставится в соответствие элемент Ах пространства о(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и


||Ах||= ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,


Откуда


||A||||B||(20)


Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X2,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х2, У).


Случайные файлы

Файл
291.rtf
50401.rtf
73285-1.rtf
74058-1.rtf
46162.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.