Предел последовательности. Теорема Штольца (86251)

Посмотреть архив целиком















Курсовая работа

"Предел последовательности. Теорема Штольца"




Содержание


Введение

Предел последовательности

Свойства сходящихся последовательностей

Примеры нахождения пределов последовательности

Теорема «Штольца»

Примеры на применение теоремы Штольца

Заключение

Список литературы




Введение


Одним из основополагающих разделов курса математического анализа является раздел, изучающий теорию предела последовательности и предела функции. Данная теория является значимой для изучения многих других разделов математического анализа, а также других дисциплин математики.

Целью данной курсовой работы является доказательство теоремы Штольца. В работе подробно рассмотрены следующие аспекты: понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения, теорема Штольца и примеры её применения.




Введение


Тема данной курсовой работы «Предел последовательности. Теорема Штольца». Для того чтобы углубиться в изучение данного вопроса, для начала, вспомним некоторые определения, утверждения и теоремы из начального изучения математического анализа, вплотную касающиеся основной проблемы затронутой в курсовой работе.

В физике и в других науках о природе встречалось множество различных величин: время, длина, объём, вес и т.п. Любая из них, смотря по обстоятельствам, то принимала различные значения, то лишь одно.

В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь числом, которым она выражается физический смысл величины, снова приобретает важность, лишь, когда занимаются приложениями математики. Таким образом, для нас переменная величина (или короче – переменная) является отвлечённой или числовой переменной. Её обозначают каким-либо символом (буквой, например, х), которому приписывают числовые значения.

Переменная считается заданной, если указанно множество Х={х} Постоянную величину (короче – постоянную) удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х={х} состоит из одного элемента.

Перейдём к установлению понятия числовой последовательности.

Определение: если каждому n є N, поставлено в соответствие xn є N, то говорят, что


(1)


образуют числовую последовательность.

члены последовательности

общий член последовательности

Введённое определение подразумевает, что любая числовая последовательность должна быть бесконечна, но не означает, что все члены должны быть различные числа.

Числовая последовательность считается заданной, если указан закон, по которому можно найти любой член последовательности.

Члены или элементы последовательности (1) занумерованы всеми натуральными числами в порядке возрастания номеров. При n+1 > n-1 член следует за членом ( предшествует ), независимо от того, будет ли само число больше, меньше или даже равно числу .

Определение: Переменную x, принимающую некоторую последовательность (1) значений, мы – следуя Мерэ (Ch. Meray) – будем называть вариантой.

В школьном курсе математики можно встретить переменные именно такого типа, типа варианты.

Например, последовательность вида



(арифметическая) или вида



(геометрическая прогрессия)

Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:



Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к , со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений:

и также представляет варианту.

Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через , отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта xп задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для xп; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, xп =а+(n-1) d или xп =aqn-1. Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число π; вообще периметр рm правильного вписанного m-угольника даётся формулой




Предел последовательности


Определение 1: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т), что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство , при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью.

Определение 2: Числовая последовательность {хп} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого выполняется равенство |xn|≤А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.

Определение 3: числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.

Определение 4: числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного ε > 0, можно указать такой номер N(ε), что для любого n > N(ε) будет выполняться неравенство | αn | < ε.

Определение 5: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {хп – а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а – предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {хп} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой , что для всех n > N выполняется неравенство


при ,


а – предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу хn є (a ε; a+ ε) или, что то же самое, принадлежит ε – окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {хп} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой ε – окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а – предел последовательности {хп}, то xп – а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. xп – а = αn, где αn – элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, xп = а +αn, и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {хп} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {хп} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.


Свойства сходящихся последовательностей


Теорема 1:

Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство:

Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела (а ≠ b)

xna, следовательно xn = a + αn, где αn элемент бесконечно малой последовательности;

xnb, следовательно xn = b + βn, где βn элемент бесконечно малой последовательности;

Оценим разность данных равенств 0 = ab + (αn - βn),

обозначим αn - βn = γn, γn – элемент бесконечно малой последовательности,

следовательно, γn = ba,

а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу ba, и тогда ba = 0 по свойству бесконечно малой последовательности,

следовательно, b = a,

следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов.

Теорема 2:

Если все элементы последовательности {xn} равны С (постоянной), то предел последовательности {xn}, тоже равен С.

Доказательство:

Из определения предела, следует, С = С + 0.

Теорема 3:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn + уn} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:

xna, следовательно xn = a + αn

уnb, следовательно уn = b + βn

xn + уn = а + b + (αn + βn)

обозначим αn - βn = γn, следовательно xn + уn = а + b + γn, γn элемент бесконечно малой последовательности;


Случайные файлы

Файл
5255.rtf
10361.rtf
16844-1.rtf
47626.rtf
151420.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.