Дифференциальные уравнения (86197)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС






Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения




Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.











Байконур 2005 г.


1. Теоретическая часть


Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:



Возможны три случая:

  1. Когда C1=C2 =0



  1. Когда



Когда



Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:



Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным



2. Практическая часть


Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:



Решение:



дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:



Проинтегрируем выражение:


Ответ:



Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:



Решение:



Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть



Произведём замену в исходном уравнении:



- дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:



Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:


Но

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл:

Решение:

- дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному



Введём новые элементы:


,


где h и k должны удовлетворять уравнениям:


откуда


Таким образом:


откуда


Подставляя это в исходное уравнение, получим



Или



Сделаем подстановку:


-


дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными




Упростим левую часть выражения


1+z=A(z-1)+Bz

Z1: 1=A+B A=-1

z0: 1=-A B=2


Проинтегрируем уравнение (**)


ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C


Пропотенцируем и подставим значение z в выражение




Упрощая данное выражение, получим:


Ответ:


Задача 4. Найти решение задачи Коши:

Решение:

линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:


a)


Разделим переменные:



Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:


б)


Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:



Следовательно:



Найдём значение С2


y|п/4=1/2

Ответ:


Задача 5. Решить задачу Коши:

Решение:



- линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:


Ответ:



Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1

Решение:

- уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y2):



Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:


z=y-1


Следовательно:


- линейное уравнение


Воспользуемся методом Бернулли:





Откуда:



Найдём значение С2



Следовательно:

Ответ:


Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:



Решение:



- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах



Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции


(*)


Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:



Дифференцируя полученное, имеем:



Но


Откуда:



Следовательно:



Ответ:



Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.



Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:



Откуда



В результате получим следующий график:




Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М0 и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М0(6;4), a=10

Решение:




Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:


Ответ:


Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение:

- дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть

Подставив в исходное уравнение, получим:



Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:



Следовательно:

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:




Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y


Ответ:


Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что откуда

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:




Разделим переменные и проинтегрируем выражение:


Но. Тогда


Однако: . Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:



Выясним значение С2:



Следовательно:

Ответ:

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:




Решение:

- НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:



Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):



Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:


k4-3k3+3k2-k=0

k1=0

k3-3k2+3k-1=0

k2=1


по методу Горнера:


1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k3-2k2+1=0

k3,4=1


Общее решение будет равно:




Найдём частное решение:


6A-2Ax-B=2x

Откуда:

Ответ:


Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:



Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение




Решение НЛДУ запишется в виде:

Общее решение:

Найдём частное решение дифференциального уравнения:



Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты


=>


Частное решение:

Решение дифференциального уравнения:


Ответ:


Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения



Решение:

- НЛДУ с постоянными коэффициентами



Общее решение



Найдём частное решение:



Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:



Частное решение уравнения:


=

Ответ: =



Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

По определению гиперболического синуса:



Найдём общее решение



Найдём частное решение:



Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:



Ответ:


Задача 16. Решить задачу Коши:


, ,


Решение:


- НЛДУ


Общее решение запишем в виде



Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:



Общее решение имеет вид:

Найдём решение частное:


,


где С1 и С2– решения системы дифференциальных уравнений



По теореме Крамера:



Интегрируя выражения, получим:




Следовательно, решение будет выглядеть так:



Найдём значения С1 и С2



Ответ:


Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений



Решение:

Составим матрицу системы:



Случайные файлы

Файл
144846.rtf
ref-15167.doc
48137.rtf
24785-1.rtf
113203.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.