Рішення ірраціональних рівнянь (86193)

Посмотреть архив целиком












Курсова робота


Рішення ірраціональних рівнянь


Введення


Тема моєї курсової роботи рішення ірраціональних рівнянь. Я вибрала її тому, що в навчальному курсі, цьому матеріалу присвячено мало годин, а в задачниках велика кількість прикладів присвячена саме цій темі.

Тому у вивченні «ірраціональних рівнянь» я маю на меті - дати основні визначення ірраціональним рівнянням і теоремам. Визначити які бувають види рівнянь. Розглянути правила рішення ірраціональних рівнянь.

Задачі моєї роботи - вивчити наукову й методичну літературу, підібрати й розглянути задачі для даної теми.

У моїй курсовій роботі показані рішення ірраціональних рівнянь як стандартного методу, так і не стандартного методу рішення. Я намагалася як можна доступніше охопити проблеми цієї теми. Звичайно, всі не можна врахувати в курсовій роботі, але я постараюся нижче викласти основні моменти. Я хотіла б зробити дану роботу допоміжним посібником при вивченні теми «Ірраціональні рівняння».


1. Основні визначення й теореми


Визначення 1. Рівняння - це два вираження, з'єднані знайомий рівності; у ці вираження входить одна або трохи змінних, називаних невідомими.

Приклад 1. - є рівнянням з однієї невідомої.

Приклад 2. - є рівнянням із двома невідомими.

Визначення 2. Рівність виду називається рівнянням з однієї змінної .

Приклад 1. - є рівнянням з однієї змінної х.

Далі розглядаємо рівняння з однієї змінної.

Визначення 3. Усяке значення змінної, при якому вираження й приймають рівні числові значення, називається коренем рівняння або його рішенням.

Приклад 1. Рівняння має два корені: -1 і 1.

Визначення 4. Вирішити рівняння - виходить, знайти множину всіх його рішень або довести, що їх немає.

Приклад 1. Рівняння має єдиний корінь 4, тому що при цьому й тільки при цьому значенні змінної звертається у вірну рівність, таким чином, відповідь записується в наступному виді:

Відповідь: {4}.

Приклад 2. Рівняння не має дійсних корінь.

Відповідь: .

Приклад 3. Рівняння має нескінченна множина рішень, тому що після тотожних перетворень одержали рівність . Дане рівняння є тотожна рівність, вірне для будь-якого дійсного значення .

Відповідь: .

Визначення 5. Тотожність (тотожна рівність) - це рівність двох виражень зі змінними, вірне при всіх припустимих значеннях вхідних у нього змінних. Тотожностями вважаються й вірні числові рівності, а також рівності, що перетворюються у вірну числову рівність для всіх числових значень букв, для яких ці вираження визначені.

Приклад 1. Рівність , справедливо для всіх числових значень і в, є тотожним.

Приклад 2. Рівність 2=2 тотожність.

Визначення 6. Тотожне перетворення вираження - це заміна вираження на тотожно рівне йому вираження, тобто рівне для всіх числових значень вхідних у нього змінних.

До тотожних перетворень ставляться, наприклад, приведення подібних доданків; розкладання на множники; приведення алгебраїчних дробів до загального знаменника; розкладання їх на елементарні дроби й інші.

Визначення 7. Ірраціональним називають рівняння, у якому змінна втримується під знаком радикала або під знаком введення в дробовий ступінь.

Приклад 1. - ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком радикала).

Приклад 2. ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком введення в дробовий ступінь).

Визначення 8. Областю визначення рівняння (або областю припустимих значень змінної - ОПЗ) називають множина всіх тих значень змінної , при яких і вираження , і мають сенс.

Приклад 1. Вираження ( і визначені при всіх . Виходить, ОПЗ: .

Приклад 2. . Вираження не визначене при , а вираження не визначене при .

Виходить, ОПЗ: .

Приклад 3. . Корінь парного ступеня має сенс лише при ненегативних значеннях підкореневого вираження. Виходить, одночасно повинні виконуватися умови: тобто ОПЗ:

Визначення 9. Нехай дані рівняння: (1), (2).

Якщо кожний корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Наслідок позначається в такий спосіб:

Приклад 1.

У процесі рішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівняння, що є наслідком вихідного. Рівнянню-Наслідку задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати й такі рішення, які не є коріннями вихідного рівняння, так звані, «сторонні» корені. Щоб виявити й відсіяти «сторонні» корінь, звичайно надходять так: всіх знайдених корінь рівняння-наслідку перевіряють підстановкою у вихідне рівняння.

Розглянемо приклади перетворень, які можуть привести до розширення ОПЗ, тобто до появи «сторонніх» корінь.

Заміна рівняння рівнянням

Якщо при деякому значенні , рівному , вірне рівність , то вірним є також рівність . Виходить, рівняння є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення , рівне , при якому й . Тоді число , що є коренем рівняння , не є коренем вихідного рівняння, тому що при вихідне рівняння не має змісту.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. . Тоді .

Перевірка.

При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при - звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.

Відповідь: .

2. Введення обох частин рівняння у квадрат

Нехай дані два рівняння (1) і . Якщо - корінь першого рівняння, то вірно рівність . З рівності двох чисел випливає рівність їхніх квадратів, тобто , а це означає, що - корінь рівняння (2). Значить із рівняння (1) потрібне рівняння (2).

У той же час із рівності квадратів чисел не потрібне рівність цих чисел. Тому з рівняння (2) не потрібне рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося введення обох частин рівняння у квадрат, те потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити «сторонні» корені, якщо вони з'явилися.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.

; .Тоді , .

Перевірка.

Якщо , те, рівність не вірно, отже, -1- не є коренем вихідного рівняння.

Якщо , то 4=4, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.

Відповідь: {4}.

3. Виконання в одній частині (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що приводять до розширення області визначення рівняння.

Якщо деяке тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - наслідок. При цьому можуть існувати такі значення змінної, які є коріннями вихідного рівняння.

Приклад 1. Вирішити рівняння .

Рішення. Виконавши приведення подібних доданків, одержимо: . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:5.

Відповідь: {5}.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення. або . Тоді , .

Перевірка.

Якщо , то вираження не має змісту.

Якщо , те, рівність вірно.

Отже, рівняння має єдиний корінь:-2.

Якщо при рішенні рівняння ми замінили його рівнянням - наслідком, то зазначена вище перевірка є невід'ємною частиною рішення рівняння. Тому важливо знати, при яких перетвореннях дане рівняння переходить у наслідок.

Розглянемо рівняння (3) і помножимо обидві частини його на одне й теж вираження , що має зміст при всіх значеннях . Одержимо рівняння: (4), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь рівняння .

Виходить, рівняння (4) є наслідок рівняння (3). Ясно, що рівняння (3) і (4) рівносильні, якщо «стороннє» рівняння не має корінь. Таким чином, справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння помножити на , то вийде рівняння, що є наслідком вихідного. Якщо рівняння не має корінь, то отримане рівняння рівносильне вихідному (якщо область припустимих значень не вже області припустимих значень змінної даного рівняння).

Приклад 1. .

Помітимо, що подібне перетворення, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння (3) діленням обох частин рівняння (4) на вираження , як правило, неприпустимо, оскільки можна привести до втрати корінь, у цьому випадку можуть «втратитися» коріння рівняння .

Приклад 2. Рівняння має два корені: 3 і 4.

Ділення обох частин рівняння на приводить до рівняння , що має тільки один корінь 4, тобто відбулася втрата кореня.

Знову візьмемо рівняння (3) і зведемо обидві його частини у квадрат. Одержимо рівняння: (5), коріннями якого служать як коріння рівняння (3), так і корінь «стороннього» рівняння . Ясно, що рівняння (3) і (5) рівносильні, якщо в «стороннього» рівняння немає кореню.

Приклад 3. Рівняння має корінь 4. Якщо обидві частини цього рівняння піднести до квадрата, то вийде рівняння , що мають два корені: -2 і 4. Виходить, рівняння - наслідок рівняння . При переході від рівняння до рівняння з'явився «сторонній» корінь: -2.

Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння у квадрат (і взагалі в будь-який парний ступінь) виходить рівняння, що є наслідком вихідного.

Приклад 1. .

При рішенні ірраціонального рівняння найчастіше намагаються замінити його більше простим, але рівносильним вихідному. Тому важливо знати рівносильні перетворення.

Визначення 10. Рівняння, що має ті самі корінь, називають рівносильними рівняннями. Рівняння, що не мають корінь, також уважають рівносильними. Іншими словами два рівняння називають рівносильними, якщо множини їхніх рішень збігаються. Рівносиль позначається в такий спосіб: .


Случайные файлы

Файл
26481.rtf
164034.rtf
182107.rtf
8935-1.rtf
113501.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.