Лекции (ворд) (ВМ2 ЛЕКЦИИ (ЧАСТЬ 4))

Посмотреть архив целиком

§ Линейные операторы.

п.1. Определение линейного оператора. Примеры.


Определение. Пусть ставится в соответствие по некоторому закону . Тогда говорят, что на линейной поверхности определён оператор , - образ элемента , - прообраз элемента .

Если оператор обладает свойствами:

1). ,

2). , ,

то оператор называется линейным оператором (Л.О.)


Замечание:

, ,


Утверждение 1. , если - Л.О.

Доказательство:


Примеры Л.О.

1. - направленные отрезки в пространстве. , где - число. Оператор «растяжения»


2. - тождественный оператор

3. - пространство дифференцируемых функций .

- оператор дифференцирования.

4. - пространство столбцов высоты

Пусть , , - оператор умножения столбца на матрицу.

5. - направленное пространство отрезков.

- фиксированная плоскость

, - проекция вектора на плоскость .


Выведем формулу

- единичный нормальный вектор.




6. - оператор зеркального отображения относительно .








п.2. Матрица линейного оператора.

Пусть - базис в

- Л.О.

Определение. - называется матрицей оператора