Беселеві функції (86163)

Посмотреть архив целиком
















Курсова робота

"Беселеві функції"




1. Беселеві функції з будь-яким індексом


Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:


. (1)


Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:


,

,

,


те рівняння (1) прикмет наступний вид:


. (2)

:

,


Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:


,


звідки (після ділення на )


.


Записавши це у вигляді:


,


знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від

,

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:


;

;

;

;

.


В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від

; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна

. Звідси:


,

;

,

.


Таким чином, ,

,

повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:


,

(3)

,

,



з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо ,

,

задовольняють рівнянням (3), тобто

рішення рівняння (2). Справді, підставляючи

в ліву частину (2) і ділячи потім на

, одержимо:


.


Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де

,

,

будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел

,

.

Перше з рівнянь (3) у випадку ,

називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку

, позначаючи незалежну змінну буквою

(замість

), а невідому функцію – буквою

(замість

), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:


. (4)


Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:


.


Тоді


,

,

,

.


Отже, приходимо до вимоги



або до нескінченної системи рівнянь


,


яка розпадається на дві системи:




Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі

можна взяти довільно; тоді

однозначно визначаються (якщо

не є цілим негативним числом). Взявши


,


знайдемо послідовно:


,

,

,


і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:



Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області

(у випадку цілого

в області

).

Функція


(5)


називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу

одержимо:


, (5`)


і, зокрема,


. (5``)


Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу функції

і

є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені

. Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:


. (6)


Якщо (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що

дорівнює нулю для

), приймає вид:


(5```)


або, після заміни індексу підсумовування на

,


, (7)


звідки видно, що задовольняє разом з

рівнянню Беселя


.


Але формула (6) у випадку цілого вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи


(

не ціле) (8)


і доповнюючи це визначення для (ціле число) формулою:


, (8`)


одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від

(у випадку

, де

ціле). Функція

називається беселевою функцією другого роду з індексом

. Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:


. (9)


2. Формули приведення для Беселевих функцій


Маємо:


;

;

,

;

.


Отже,


. (10)


Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на

), застосована до

, підвищує в цьому вираженні індекс

на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію

раз, де

будь-яке натуральне число, одержуємо:


. (10`)


Маємо:


;


Отже,


. (11)


Таким чином, операція , застосована до

, знижує в цьому вираженні індекс

на одиницю. Застосовуючи цю операцію

раз, одержуємо:


. (11`)


З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:


;

;

.


Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:


;

;

.


По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:


, (12)

. (13)


Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через ,

. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи

):


, (13`)


звідки послідовно одержуємо:


,

, …………………


3. Беселеві функції з напівцілим індексом


Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де

ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:


,

,


отже,


.


Але , значить:


. (14)


Далі


,

,


отже,


.


Але , тому


. (15)


За допомогою (10') знаходимо:


,


а з огляду на (14)


,


отже, при цілому позитивному


. (14`)


За допомогою (11') знаходимо:


,


але в силу (15)


,


і, отже, при цілому позитивному


. (15`)



4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом


Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему функцій

(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:



Складемо ряд


,


де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному

(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність

. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.

Функція


(16)


(де x лежить в області визначення функцій системи ,

усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню

) називається виробляючою функцією системи

.

Обернено, нехай задана функція , де

пробігає деяку множину,

перебуває усередині деякого кільця, що залежить від

, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо

при кожному

аналітичне відносно

усередині відповідного кільця, тобто

виробляюча функція деякої системи

функцій. Справді, розклавши при кожному

функцію

в ряд Лорана по ступенях

:


,


знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою

.

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності

в простий інтеграл, одержимо:


. (17)


Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (

) виробляюча функція є:


.


Маємо:


,

,


звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:



(тому що в передостанній внутрішній сумі й

були зв'язані залежністю

, то ми могли покласти

, одержавши підсумовування по одному індексі

). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих

, для яких

, отже, при

це буде

; при

це буде

. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є

в силу формул (5`) і (5```). Отже,


, (18)


але це й доводить, що є виробляюча функція для системи

.

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:


,


звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )


Случайные файлы

Файл
180933.rtf
103244.rtf
160946.rtf
176401.rtf
26057-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.