Представления конечных групп (86139)

Посмотреть архив целиком














Курсовая работа


"Представления конечных групп"




Содержание


Основные обозначения

Введение

1. Представления конечных групп

1.1 Представления групп

1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

1.3 Лемма Шура

1.4 Соотношения ортогональности для характеров

1.5 Индуцированные представления

1.6 Произведение представлений

Заключение

Список использованных источников




Основные обозначения


группа

порядок группы

единичный элемент группы

единичная подгруппа, единичная группа

множество всех простых делителей натурального числа

множество всех простых делителей порядка группы

центр группы

подгруппа Фиттинга группы

подгруппа Фраттини группы

коммутант группы

централизатор подгруппы в группе

нормализатор подгруппы в группе

группа всех автоморфизмов группы

группа всех внутренних автоморфизмов группы

- является подгруппой группы

является собственной подгруппой группы

является максимальной подгруппой группы

является нормальной подгруппой

является субнормальной подгруппой группы

является минимальной нормальной подгруппой группы

индекс подгруппы в группе

прямое произведение подгрупп и

полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы




Введение


В данной работе приведены доказательства следующих теорем:

Теорема. Непустое подмножество группы будет подгруппой тогда и только тогда, когда и для всех .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), которая удовлетворяет следующим требованием:

1) операция определена на , т.е. для всех ;

2) операция ассоциативна, т.е. для любых ;

3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех , что для всех ;

4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент , что .

Более кратко: полугруппа с единицей, в которой каждый элемент обладает обратным, называется группой.

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой. Если – конечное множество, являющиеся группой, то называют конечной группой, а число элементов в порядком группы .

Подмножество группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на . Запись означает, что – подгруппа группы , а – что – собственная подгруппа группы , т.е. и .

Централизатор. Пусть – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через .


Лемма

1. Если – подмножество группы , то централизатор является подгруппой.

2. Если и – подмножество группы и , то

3. Если – подмножество группы и , то

Центр группы. Центром группы называется совокупность всех элементов из , перестановочных с каждым элементом группы. Центр обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того, .

Зафиксируем в группе элемент . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через .

Теорема. Циклическая подгрупппа , порожденная элементом , состоит из всевозможных целых степеней элемента , т.е.

Следствие. Циклическая подгруппа абелева.

Порядок элемента. Пусть – элемент группы . Если все степени элемента различны, т.е. для всех целых , то говорят, что элемента имеет бесконечный порядок.

Нормализатор. Если – непустое подмножество группы и то и Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то и . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством , называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,



Лемма. Пусть – непустое подмножество группы , – произвольный элемент группы . Тогда:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) если – подгруппа группы , то

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается: » – нормальная подгруппа группы «. Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Теорема. Для подгруппы группы следующие утверждения эквивалентны:

1) – нормальная подгруппа;

2) подгруппа вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. для всех ;

3) подгруппа совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. для всех .

Лемма. Пусть – подгруппа группы . Тогда:

1) ;

2) если и , то ;

3) – наибольшая подгруппа группы , в которой нормальна;

4) если , то . Обратно, если , то ;

5) для любого непустого подмножества группы .

Простая группа. В каждой группе тривиальные подгруппы (единичная подгруппа и сама группа ) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе нет других нормальных подгрупп, то группа называется простой. Единичную группу считают непростой.




Представления конечных групп


1.1 Представления групп


Пусть – группа всех невырожденных матриц порядка над полем комплексных чисел. Если – произвольная группа, то ее (матричным) представлением называется любой ее гомоморфизм в


G,


такой, что


,


(единичная матрица),

. Число n называется степенью этого представления. Если гомоморфизм A иньективен, то представление называется точным.

Пример 1.1 Отображение, переводящее каждый элемент группы в , является представлением степени . Оно называется тождественным представлением группы и обозначается через .

Пример 1.2 Если – некоторое представление группы , то для каждой невырожденной матрицы отображение также является представлением этой группы.

Пусть и – два представления группы . Если существует невырожденная матрица , такая, что что

,

то представления и называются эквивалентными. Тот факт, что представления и эквивалентны, мы будем обозначать так: . Отношение определяет классы эквивалентных представлений группы .

Пример 1.3. Пусть – симметрическая группа степени . Для элемента



через обозначим матрицу, строка которой имеет вид , где 1 стоит на месте. Другими словами,



где



Такое отображение является точным представлением группы .

1.4. Пусть –конечная группа, состоящая из элементов и пусть – симметрическая группа на . Отображение, которое ставит в соответствие элементу подстановку

является инъективным гомоморфизмом группы в . С такой подстановкой мы свяжем матрицу




где, как и в примере ,



Тогда отображение является точным представлением группы . Оно называется правым регулярным представлением этой группы. Определим следующим образом:



Тогда



и, если , то каждый диагональный элемент равен нулю.

регулярное представление группы определяется аналогично с использованием гомоморфизма



Другими словами,



Пусть – некоторый гомоморфизм из в , т.е. подстановочное представление группы . Представив подстановку в виде матрицы , как это сделано в примере 1.3, мы получим представление

Пусть – представление степени . Говорят, что приводимо, если существует такая невырожденная матрица , что



где и – квадратные матрицы порядка и соответственно, причем Отметим, что представления



эквивалентны, поскольку для матрицы



Скажем, что представление неприводимо, если оно не является приводимым. Отметим, что в (1.3) отображения и являются представлении степеней и соответственно.

Для заданных представлений и группы степеней и соответственно отображение


Случайные файлы

Файл
20735-1.rtf
38178.doc
49812.rtf
102149.rtf
23161.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.