Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива (86137)

Посмотреть архив целиком

Исходные данные к курсовому проекту


Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

  1. посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

  2. на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

  3. аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:


; ; , где h – текущая высота;


или в нормальной форме:


; ; ; .


Здесь введены обозначения:


; ; ; ; .


Граничные условия имеют вид:


; ; ; ; ,



причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .


Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА

, кг.

Начальная высота

, км.

Начальная

скорость

, км/с

Отношение силы тяги

к начальной массе , м/с2

500

190

2,65

42,5


=190000 м.

=2650 м/с



Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2, величина с=3000 м/с.




Задание к курсовому проекту


  1. Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

  2. Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

  3. Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0, x1, x2, а в момент t=T‑компоненты x1, x2, ψ0.

  4. Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

  5. Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения


.


Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что Кu есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1, управление равно своему максимальному значению u*=umax, что соответствует минимальному расходу топлива.

  1. Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда , u*=umax.

Приравнивая х1(Т) и х2(Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).




Выполнение задания курсового проекта


Нам известно, что


, где с – сила тяги двигателя,


m – масса космического аппарата;

ускорение аппарата.

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax/m(0):


;

;

кг/с.


Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:


; .


Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.


;


Тогда критерий оптимизации:


;

. (Здесь .)


Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.


Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:


;

;

.


Выберем управление:


;


Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и , отсюда


;

;

.


Критерий оптимизации:


.


Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).


, где t – текущее время.

.


Тогда основные уравнения состояния:



Составим гамильтониан Н:


;

.


Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :


– так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

– аналогично, так как функция не зависит от х1.




Итак, нужно найти максимум гамильтониана:






Функция переключения:



Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:



Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:


;


Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ11.

, следовательно, , где c2 = const.

Итак,



Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует



На первом участке полета, на котором u1=0:





; ; ;

;

;

.


Рассмотрим второй участок полета u1=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.





На отрезке полета со включенным двигателем:


;


так как , запишем:

.

Теперь, зная х3, можно выразить х2:


.


Теперь, зная х2 выразим х1:


;


На отрезке пути h(t):



В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть и . На основании этого утверждения приравняем х1(T) и х2(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:




Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:


;


Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):



Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления1:

Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):


кг.


Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:


м.


Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.


1 Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad


Случайные файлы

Файл
89684.rtf
26828.rtf
172349.doc
Aegypt.doc
71634.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.