Построение математических моделей (86136)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Задание 1

Задание 2

Список литературы


Вариант 6


Задание 1


Имеются данные, характеризующие выручку (у, млн. руб.) предприятия «АВС» в зависимости от капиталовложений (х, млн. руб.) за последние 10 лет (табл. 1).


Таблица 1

Время, t

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Выручка, у

3,0

2,9

3,0

3,1

3,2

2,8

2,9

3,4

3,5

3,6

Объем капитало-
вложений, х

1,1

1,1

1,2

1,4

1,4

1,4

1,3

1,6

1,3

1,4


  1. Построить поле корреляции.

  2. Найти параметры уравнения линейной регрессии ; дать экономическую интерпретацию параметров а и b.

  3. Составить уравнения нелинейных регрессий:

  • гиперболической ;

  • степной ;

  • показательной

  1. Для каждой из моделей:

  • найти коэффициент парной корреляции (для нелинейных регрессий – индекс корреляции);

  • найти коэффициент детерминации;

  • проверить значимость уравнения регрессии в целом с помощью F – критерия Фишера;

  • найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

  1. Составить сводную таблицу вычислений; выбрать лучшую модель; дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

  2. По лучшей модели составить прогноз на следующие два года показателя у (выручка), если х (объем капиталовложений) увеличивается на 10% по сравнению с последним годом.

  3. Построить графики уравнений регрессии; отметить точки прогноза.

РЕШЕНИЕ:

  1. ПОСТРОИМ ПОЛЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Поле корреляции – точечный график, осями X и Y которого сопоставлены изучаемые признаки (рис. 1).


Рис. 1


Точки на графике поля корреляции находятся довольно хаотично, что говорит о слабой зависимости объема капиталовложений Х и выручки Y.

  1. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая ее, относительно неизвестных параметров а и b.

Система нормальных уравнений имеет вид:



Необходимые расчеты представлены в таблице 2.



Построена линейная модель зависимости выручки предприятия «АВС» от объема капиталовложений:



В линейном регрессии коэффициент регрессии показывает направление связи между переменной Y и фактором X. А также, указывает насколько в среднем изменяется значение результативного признака Y, если фактор увеличить на единицу измерения.

b = 0,843, т.е. при увеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн. руб. выручка предприятия (Y) в среднем увеличится на 0,843 млн. руб.


Таблица 2

Вспомогательные вычисления для нахождения параметров линейной модели

t

Y

X

X2

X*Y

1998

3,0

1,1

1,21

3,3

1999

2,9

1,1

1,21

3,19

2000

3,0

1,2

1,44

3,6

2001

3,1

1,4

1,96

4,34

2002

3,2

1,4

1,96

4,48

2003

2,8

1,4

1,96

3,92

2004

2,9

1,3

1,69

3,77

2005

3,4

1,6

2,56

5,44

2006

3,5

1,3

1,69

4,55

2007

3,6

1,4

1,96

5,04

Σ

31,4

13,2

17,64

41,63


  1. РАССЧИТАЕМ:

  • коэффициент парной корреляции.

Коэффициент парной корреляции показывает направление и тесноту линейной связи.



Т. е. связь между объемом капиталовложений и выручкой предприятия прямая и слабая.


Таблица 3

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента парной корреляции, средней относительной ошибки аппроксимации

t

Y

X

A

1998

3,0

1,1

0,048

0,020

0,031

2,955

0,015

1999

2,9

1,1

0,048

0,058

0,053

2,955

0,019

2000

3,0

1,2

0,014

0,020

0,017

3,039

0,013

2001

3,1

1,4

0,006

0,002

-0,003

3,207

0,035

2002

3,2

1,4

0,006

0,004

0,005

3,207

0,002

2003

2,8

1,4

0,006

0,116

-0,027

3,207

0,146

2004

2,9

1,3

0,000

0,058

0,005

3,123

0,077

2005

3,4

1,6

0,078

0,068

0,073

3,376

0,007

2006

3,5

1,3

0,000

0,130

-0,007

3,123

0,108

2007

3,6

1,4

0,006

0,212

0,037

3,207

0,109

Σ

31,4

13,2

0,216

0,684

0,182


0,530


коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака Y под влиянием фактора Х, включенного в модель.



22,42% изменения выручки предприятия обусловлено изменением объема капиталовложений, на 77,58% влиянием прочих факторов, не учтенных в модели.


Рис. 2

F – критерий Фишера

Для проверки значимости уравнения регрессии в целом найдем расчетное значение критерия Фишера:


Расчетное значение статистики Фишера сравниваем с табличным


F(α; d.f.1; d.f.2), где


α – уровень значимости (для большей надежности примем его равным 0,05);

Число степеней свободы d.f.1 = k = 1, где k – число факторов в модели;

Число степеней свободы d.f.2 = nk – 1 = 10 – 1 – 1 = 8


F (0.05; 1; 8) = 5,318.


В силу того, что F(расч.) = 2,312 < F(табл.)= 5,318, то уравнение в целом можно считать статистически незначимым.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации:



Фактические значения выручки отличаются от расчетных, полученных по модели на 5,3%. Ошибка небольшая, модель считается точной

  1. НАЙДЕМ ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ

Расчет неизвестных параметров выполним методом наименьших квадратов (МНК).

Система нормальных уравнений имеет вид:



Необходимые расчеты представлены в таблице 4.







Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.