Теорема Дирихле (86121)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Введение 2

1. Характеры 3

1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6

1.3 Характеры Дирихле 8

2. L-функция Дирихле 13

3. Доказательство теоремы Дирихле 29




Введение


Простые числа расположены в натуральном ряде весьма неравномерно.

Целью данной работы является доказательство следующей теоремы о простых числах в арифметической прогрессии.

Теорема Дирихле. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.

Пусть

mn + l, n=1,2, …,

прогрессия, удовлетворяющая условию теоремы.

Условие (m, l)=1, наложенные на числа m и e в формулировке теоремы, естественно, поскольку в случае, когда d=(m, l)>1, все члены прогрессии делятся на d и поэтому не являются простыми числами.

Сформулированная теория была впервые высказана Л. Эйлером в 1783 г. В 1798 г. А. Лежандр опубликовал доказательство для четных m, использовавшее, как выяснилось позднее, одну ошибочную лемму.

Полностью доказал теорему в 1837–1839 гг. Петер Густав Лежен-Дирихле (1805–1859), немецкий математик, автор трудов по аналитической теории чисел, теории функций, математической физике.

В 1837 г. вышли две работы Дирихле, посвященные теореме о простых числах в арифметической прогрессии. Они содержали формулировку теоремы в общем виде, однако доказательство приводилось только для случая, когда разность прогрессии есть простое число. В конце второй работы содержится построение характеров для произвольного модуля и некоторые утверждения о том, как можно доказать утверждение L (1,χ)0 для неглавных характеров x в одном случае. В 1839 г. Дилихле опубликовал полное доказательство теоремы о простых числах в арифметической прогрессии. С тех пор она носит его имя.


1. Характеры


1.1 Определение характера. Основные свойства характеров


Характером (от греческого хараæτήp-признак, особенность) χ конечной абелевой группы G называется не равная тождественно нулю комплекснозначная функция, определенная на этой группе и обладающая тем свойством, что если, АG и BG

χ (АВ)= χ (А) χ(В).

Обозначим через Е единичные элементы в группе G и через А-1 обратный элемент для АG

Характеры группы G обладают следующими свойствами:

1. Если Е-единица группы, то для каждого характера χ


χ (Е)=1 (1.1)


Доказательство. Пусть для каждого элемента АG справедливо неравенство


1(А)=(АЕ)= (А) χ (Е)


Из этого равенства получим, что  (Е)0. Теперь из равенства


 (Е)=  (ЕЕ)=  (Е)  (Е)=1


следует равенство (1.1)

2.  (А) 0 для каждого АG

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АG, то


 (А) χ-1)=  (АА-1)= χ (Е)=0,


а это противоречит свойству 1.

3. Если группа G имеет порядок h, то Аh=Е для каждого элемента АG Следовательно,


1= χ (Е)= χh)= χ (А)h,


то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ1, обладающий свойством χ1(А)=1 для каждого элемента АG, называется главным характером группы G. Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G, причем G/H – циклическая порядка n, тогда для каждого характера χH – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство. Рассмотрим группу G=gkH, причем gnH=H, gnH и gn=h1=1.

Для каждого элемента XG существует и притом единственное к=кх и hх=h такое, что если 0 кх <n, то X= gkх hх=gkh. Возьмем еще один элемент группы G, Y= gm hy, где 0 m<n. Перемножим эти два элемента


ХY= gк+m hhy.


Определим характер χ (X).


χ (X)= χ (gк h)= χ (gк) χ (n)= χ к (g) χ H (h).


В данном выражении неизвестным является χ (g).


χ n (g)= χ (gn)= χ (h1)= χ H(h1) – данное число.


χ (g)= – n корней из 1,

то есть ξјn=χn(g)= χ H(h1), получаем xk (g)= ξјn. Следовательно, x(g)= ξ1, …, ξn

Из полученных равенств получаем:


χ (X)= χ k (g) χ H(hx)= ξjkx χ H (hx)

χ (Y)= χ m (g) χ H(hy)= ξjky χ H (hy)


Определим умножение характеров


χ (X) χ (Y)= ξjky χ H (hy) ξjk-x χ H (hx)= ξjkx+ky χ H (hx) χ H (hy)= jk+m χ H (hhy)


Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень gkx+kx. Возможны два случая:

1) Если 0 кх + ky<n, то


кх + ky= kxy,; hxhy = hxy.


В этом случае определение выполняется.

2) Если n кх + ky<2n-1, то получим


кх + ky = n + kxy..


Тогда

XY= g kx+ky hxhy=ghgkx+ky-n hx hy=gkx+ky-n h1hxhy

В свою очередь 0 кх + kynn-1  kx+kyn=kxy, h1hxhy = hxy.


χ (XY) = ξj kх+kу χн (hxу) = ξj kх + kу – n χн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξjкх ξj ку ξjn χн (h1) χн(hx) χн (hy) = ξj кх χн (h) · ξj ку χн(hy) = χ (X) χ(Y).


Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:


χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)


Для любого элемента АG, имеем:


χ (АВ) = χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ'' (В) = χ(А) χ(В)


Таким образом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ1

Обратным элементом G является:

χ2 (g1 g2) = == = χ2(g1) χ2(g1)


1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности


Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:


S = ,


где А пробегает все элементы G, и сумму


Т =


где  пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,


S· (В) =  (В) = = = S.


Получили S (В) = S, откуда следует, что ( (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то  (В) – негативный характер

2) S≠0, то  (В) = 1 для каждого элемента В€G и в этом случае  (В)= 1(В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,


S = =  (1.2)


б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер ’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим


’ (А) Т = ’ (А) = = Т,


Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то ’ (А) = 1 для каждого характера ’€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,


Т = = 


1.3 Характеры Дирихле


Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Мы знаем, что (m) приведенных классов вычетов по модулю m образуют мультипликативную абелеву группу порядка h=(m). Мы можем, следовательно, рассмотреть характер этой группы. Но определение характера для приведенных классов вычета по модулю m можно перенести на множество целых чисел следующим образом. Положим


(а)= (А), если аА,


где А – приведенный класс вычетов по модулю m. Тогда очевидно, (а)= (b) (mod m), и (ab)= (а) (b), если (а, m)=(b, m)=1. Поскольку (А)0 для каждого приведенного класса вычетов А, то (а)0, если (a, m)=1.

Это определение применимо только к целым числам а, которые взаимно просты с m.

Мы можем рассмотреть его на все целые числа, положив

(а)=0, если (a, m)>1.

Следовательно, характер по модулю m есть арифметическая функция , обладающая следующими свойствами:

(а)= (b), если с=b (mod m)

(ab)= (a) (b) для всех целых a и b


(а)=0, если (a, m)>1

(а)0, если (a, m)=1


Имеется точно (m) – количество характеров по модулю m, где (m) – количество положительных целых чисел, не превосходящих m и взаимно простых с m. Они образуют мультипликативную абелеву группу приведенных классов вычета по mod m. Единичным элементом этой группы будет главный характер 1, то есть такой характер, что 1(а)=1, если (а, m)=1. Далее имеем следующее соотношение ортогональности:


= 


= 


Пусть m – положительное целое число. Определим числовые характеры по модулю m. Комплекснозначная функция, определенная для всех целых чисел n, называется числовым характером или характером Дирихле по модулю m, она удовлетворяет следующим условиям:

а)  (n) = 0 тогда и только тогда, когда (n, m) ≠ 1

б)  (n) периодична с периодом m

в) для любых чисел а и b

b) =  (а)  (b)

Функция


1(n) = 


является числовым характером и называется главным характером. Остальные числовые характеры по модулю m называются неглавными.

Имеет место следующее утверждение о числовых характерах.

Теорема 1 Существует равно φ(m) числовых характеров по модулю m. Если  =  (n) – числовой характер по модулю m, то:

1) для n, взаимно простых с модулем m, значения  (n) есть корень из 1 степени φ(m).

2) для всех n выполняется неравенство / (n)/ ≤1

3) Имеет место равенство





4) Для каждого целого числа n


= 


Доказательство. Пусть  (n) – некоторый числовой характер по модулю m. Из пункта б) определения следует, что  (n) задает некоторую функцию ’() =  (n) на мультипликативной группе

классов вычетов по модулю m, взаимно простых с m, а именно


’() =  (n)


Здесь обозначает класс вычетов по модулю m, содержащий n. Так как (1) ≠ 0, то ’() не равняется тождественно нулю, а из пункта в) определения числового характера следует, что ’() = ’() = ’ (ab) =  (a)  (b) = ’()’().

Таким образом, ’() есть характер модультипликативной группы Gm.

Обратно, по каждому характеру ’() группы Gm можно построить числовой характер  (n) по модулю m, положив





Установленное соответствие является взаимнооднозначным. И все утверждения теоремы 1 следуют из доказанного выше для групповых характеров применительно к группе Gm, если учесть, что порядок группы Gm равен φ(m), где φ(m) – функция Эйлера.

В дальнейшем требуется еще одно утверждение с числовых характерах. Обозначим для каждого ,  ≥ 1



Где суммирование ведется по всем натуральным числам n, не превосходящим .

Лемма 2. Пусть  (n) – неглавный характер. Тогда для каждого ,  ≥ 1 справедливо неравенство

/S(x)/<m

Доказательство. Функция  (n) периодична с периодом m и по теореме з


0, так как ≠ 1


Поэтому, представив [] – целую часть числа  – в виде []=m1+z, 0zm, будет иметь


S() =S([])=q

В виду равенства /(n)/1 отсюда получили S()zm




2. L-функция Дирихле


Пусть х(п) – произвольный характер по модулю m. Рассмотрим ряд


, (2.1)


члены которого являются функциями комплексного переменного S. В области сходимости он определяет функцию, которая называется L-функцией Дирихле, соответствующей характеру (n), и обозначается L (s, ).

Лемма 3

1. Если 1, то ряд (1) сходится в области ReS > 0 и определяемая им функция L (s, ) является аналитической в этой области.

2. Ряд, определяющий L (S, 1), сходится в области ReS >1. Функция L (S, 1) является аналитической в области ReS > 1.

Доказательство.

Пусть (n) – произвольный характер по модулю m, а б – некоторое положительное число. Так как /(n)/  1, то в области ReS > 1 + б справедливо неравенство



Следовательно, ряд (1) равномерно сходится в области ReS > 1 + б. Определяемая им функция L (S, ) по теореме Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда аналитических функций является аналитической в этой области. Ввиду произвольности 6 это доказывает второе утверждение Леммы.

Для неглавных характеров (n) потребуется более сложное исследование ряда (1).

Лемма 4 (преобразование Абеля).

Пусть an, n=1,2,…, – последовательность комплексных чисел, >1,


А()=


а q(t) – комплекснозначная функция, непрерывно дифференцируемая на множестве 1t

Тогда


(2.2)


Если же


то

(2.3)


при условии, что ряд в левой части равенства сходится.

Доказательство. Положим А(0)=0 и В(х) равным левой части равенства (2.2). Тогда при любом натуральном N


так как А(0)=0. Далее



поскольку функция А(х) постоянна на каждом полуинтервале nt<n+1. Следовательно, равенство (2.2) доказано при целых значениях х.

пусть х1 – произвольное число. Положим N=[x]; значит, NxN+1. Тогда А(х)=А(N), B(x)=B(N), а



Следовательно,


Тем самым доказано, что равенство (2.2) верно и для нецелых чисел значений х.

Равенство (2.3) получаем из равенства (2.2) переходом к пределу при х. Лемма доказана.

Воспользовавшись леммой 4, получим следующее равенство


(2.4)


где



функция, введенная Лемме 4.

Для s = +it из области ReS = , где  – некоторое положительное число, пользуясь леммой 4, находим



Поэтому интеграл



сходится в области ReS > . Поскольку в этой области выполняется неравенство



то из равенства (2) следует, что ряд (1), определяющий функцию L (S, x), сходится в области ReS > . Эти рассуждения справедливы для любого положительного числа . Значит, ряд (1) сходится в полуплоскости ReS > 0.

Из равенства (2) следует, что в этой полуплоскости для L-функции, соответствующей неглавному характеру (n), справедливо представление


(2.5)

так как



Интеграл, стоящий в правой части равенства (2.5), можно также представить в виде


(2.6)


Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >, что следует из равенств



При этом использовано, что на полуинтервале nх< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку



то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.



является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >, а ввиду произвольности S –  и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть  (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство


Случайные файлы

Файл
71034-1.rtf
162903.rtf
129202.rtf
38702.rtf
177407.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.