Экзаменационная программа и билеты (Задачи к экзамену)

Посмотреть архив целиком

5



СТАНДАРТ

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задачи к экзамену

Составили Сливина Н.А.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

  1. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти координаты векторов . Изобразить эти векторы.

  2. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Найти длины сторон треугольника.

  3. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). B1C1средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC. Найти длину B1C1.

  4. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 1). Найти внутренние углы треугольника ABC.

  5. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Вычислить площадь треугольника.

  6. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины A.

  7. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.

  8. Треугольник ABC задан координатами вершин: A(1, 0, 0), B(0,2,0), C(1, 2, 3). Найти длину высоты, опущенной на строну AB.

  9. Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1). Изобразить тетраэдр.

  10. Вычислить объем тетраэдра OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(0, 0, 1). Изобразить тетраэдр.

  11. Записать координаты какого-либо вектора, ортогонального вектору .

  12. Записать координаты какого-либо вектора, коллинеарного вектору .

  13. Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .

  14. Записать координаты какого-либо вектора, компланарного векторам .

  15. Записать координаты какого-либо вектора, образующего острый угол с вектором .

  16. Записать координаты какого-либо вектора, образующего тупой угол с вектором .

  17. Записать координаты какого-либо вектора, образующего с векторами левую тройку.

  18. Доказать, что вектор ортогонален вектору .

  19. Вычислить векторное произведение векторов и .

  20. Вычислить смешанное произведение

  21. Дано: , , . Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .


ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

  1. Записать уравнения координатных плоскостей.

  2. Записать параметрические уравнения координатных осей.

  3. Записать канонические уравнения координатных осей.

  4. Записать уравнения граней тетраэдра OABC, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

  5. Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины O. Здесь O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

  6. Записать уравнение прямой, проходящей через вершину O(0, 0, 0) тетраэдра OABC и перпендикулярной основанию ABC. Здесь A(1, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

  7. Записать уравнения прямой, проходящей через вершину A(1, 0, 0) тетраэдра OABC перпендикулярно плоскости OBC. Здесь O(0, 0, 0), B(0,1,0), C(1, 1, 1).

  8. Записать уравнения граней призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).

  9. Записать уравнения ребер призмы OABO1A1B1, где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0,1,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (0,1,1).

  10. Найти расстояние между ребрами BC и OO1 призмы OABCO1A1B1C1,

где O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(1,2,0), С(0,3,0), O1 (0, 0, 1), A1 (1, 0, 1), B1 (1,2,1), C1 (0, 3, 1).

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

  1. Решить уравнения: a) ; б) ; в) .

  2. Вычислить определители:

a) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

  1. Вычислить определители, приведением к диагональной форме:

a) ; б) .

  1. Как изменится определитель 3-го порядка, если знаки всех его элементов поменять на противоположные?

  2. Как изменится определитель третьего порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .

  3. Как изменится определитель четвертого порядка, если все его строки записать в обратном порядке? Сравните и .

МАТРИЦЫ

  1. Вычислить:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е)