Уравнение и функция Бесселя (86082)

Посмотреть архив целиком

Содержание


Задание на курсовую работу 2

Замечания руководителя 3

1. Бесселевы функции с любым индексом 5

2. Формулы приведения для бесселевых функций 10

3. Бесселевы функции с полуцелым индексом 13

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом 15

5. Ряды Фурье-Бесселя 18

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента 23

Список литературы 30


1. Бесселевы функции с любым индексом


Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

, ;

, .

Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

,

(3)

, ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию – буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.


Бесселевы функции первого рода

Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:

.

Тогда

,

,

,

.

Следовательно, приходим к требованию

или к бесконечной системе уравнений

,

которая распадается на две системы:

Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв

,

найдем последовательно:

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)


Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования на ,

, (7)

откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( – не целое) (8)

и дополняя это определение для (целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)


2. Формулы приведения для бесселевых функций


Имеем:

; ;

, ;

.

Следовательно,

. (10)

Таким образом, операция (состоящая в дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию раз, где – любое натуральное число, получаем:

. (10`)

Имеем:

;

Следовательно,

. (11)

Таким образом, операция , примененная к , понижает в этом выражении индекс на единицу. Применяя эту операцию раз, получаем:

. (11`)

Из выведенных формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:

; ; .

Отсюда, в частности, следует, что . Используя (11), получим:

; ; .

Почленное сложение и вычитание полученных равенств дает:

, (12)

. (13)

Формула (13) позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):

, (13`)

откуда последовательно получаем:

,

, …………………


3. Бесселевы функции с полуцелым индексом


Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы функции с индексом , где – целое. Эти функции могут быть выражены через элементарные функции.

Имеем:

,

,

следовательно,

.

Но , значит:

. (14)

Далее

,

,

следовательно,

.

Но , поэтому

. (15)

С помощью (10`) находим:

,

а учитывая (14)

,

следовательно, при целом положительном

. (14`)

С помощью (11`) находим:

,

но в силу (15)

,

и, следовательно, при целом положительном

. (15`)


4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом


Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

,

где – комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.

Функция

(16)

(где x лежит в области определения функций системы , – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .

Обратно, пусть задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция некоторой системы функций. В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :

,

найдем, что система коэффициентов этого ряда будет искомой системой .

Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности в простой интеграл, получим:

. (17)

Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:

.

Имеем:

, ,

откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме и были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это будет ; при это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть в силу формул (5`) и (5```). Итак,

, (18)

но это и доказывает, что есть производящая функция для системы .

Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:

,

откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )

(18`)

(18``)

Заменяя в (18`) и (18``) на , найдем:

, (18```)

. (18````)


Случайные файлы

Файл
159194.rtf
159808.rtf
103716.rtf
25236.rtf
13894-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.