Логарифмические уравнения (86038)

Посмотреть архив целиком

18

Введение


Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.





Логарифмические уравнения и неравенства


1. Логарифмические уравнения


Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида


loga x = b. (1)


Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.

Пример 1. Решить уравнения:


a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c)


Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:



где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:


loga N1·N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).





Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид


loga N1·N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1·N2 > 0).


Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя


(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).


Замечание. Если , (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид


(a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).


P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:


loga N k = k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).


Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то


loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).


P5. Формула перехода к другому основанию:


(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),





в частности, если N = b, получим


(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)


Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства


(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)


и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место


(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1). (6)


Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:

  1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

  2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

  3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 loga x1 > loga x2).

  4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

  5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

  6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)


f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

f(x) > 0,

g(x) > 0.


Утверждение 3. Уравнение logh(x) f(x) = logh(x) g(x) равносильно одной из систем


f(x) = g(x),

f(x) = g(x),

h(x) > 0,

h(x) > 0,

h(x) ≠ 1,

h(x) ≠ 1,

f(x) > 0,

g(x) > 0.


Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения


f(x) = g(x) и loga f(x) = loga g(x)


или


loga [f(xg(x)] = b и loga f(x) + loga g(x) = b





вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.


2. Использование определения логарифма


Пример 1. Решить уравнения


a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,

c) log(x - 2)9 = 2,

b)

d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.


Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, logab = c, b = ac и, следовательно,


5 + 3log2(x - 3) = 23


или


3log2(x - 3) = 8 - 5, log2(x - 3) = 1.


Опять используя определение, получим


x - 3 = 21, x = 5.





Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:


log2(5 + 3log2(5 - 3)) = log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) = log28 = 3.


Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение



откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение


(x - 2)2 = 9.


Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x2 - 4x - 5 = 0 с решениями x1 = -1 и x2 = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение


(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2


или, после элементарных преобразований,


x2 + 6x-7 = 0,

откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.





3. Использование свойств логарифма


Пример 3. Решить уравнения


a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2

c) log2x + log3x = 1




Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)


x > 0,

x+3 > 0,

x+24 > 0.


Используя свойство P2 и утверждение 1, получим


log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24)



log3x(x + 3) = log3(x + 24),

x > 0,



x(x + 3) = x + 24,

x > 0,



x2 + 2x - 24 = 0,

x > 0,



x1 = -6,

x2 = 4,


x > 0,



x = 4.






b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения



откуда, используя определение логарифма, получим



или


x2 - 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x + 5),


откуда получаем уравнение


x2 - 2x - 3 = 0


с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение


log2x(1 + log32) = 1,


откуда или или log2x = log63. Следовательно,






Логарифмические неравенства


Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.


Случайные файлы

Файл
82.rtf
117246.rtf
118613.rtf
Prib.doc
162786.rtf