Вычисление интегралов методом Монте-Карло (86011)

Посмотреть архив целиком


САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ


ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ








КУРСОВАЯ РАБОТА


ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ МЕТОДОМ МОНТЕ - КАРЛО







Выполнил:

Руководитель:






Саратов, 2009


СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

1.3 Сплайн – интерполяция 8

1.4 Алгоритм расчета интеграла

2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.

2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел

2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


ВВЕДЕНИЕ


Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.

Цель:

  1. Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.

  2. Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

  3. Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

  1. Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

  2. Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

  3. Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.


1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА


1.1 Принцип работы метода Монте – Карло


Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину , изменяющуюся по какому то правилу . Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина стала математическим ожидание от , то есть .

Таким образом, искомая величина определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел объемом . Затем необходимо вычислить выборочное среднее варианта случайной величины по формуле:

. (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение .

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.


1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.


Рассмотрим nмерный интеграл

для . (2)

Будем считать, что область интегрирования , и что ограниченное множество в . Следовательно, каждая точка х множества имеет n координат: .

Функцию возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве : .

Воспользуемся ограниченностью множества и впишем его в некоторый n – мерный параллелепипед , следующим образом:

,

где - минимумы и максимумы, соответственно, - ой координаты всех точек множества : .

Доопределяем подынтегральную функцию таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда , которые не принадлежат :

(3)

Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде

. (4)

Область интегрирования представляет собой n мерный параллелепипед со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами , которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.

Обозначим через n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде : , где .

Тогда ее плотность вероятностей будет определена следующим образом

(5)

Значение подынтегральной функции от случайного вектора будет случайной величиной , математическое ожидание которой является средним значением функции на множестве :

. (6)

Среднее значение функции на множестве равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда :

(7)

Обозначим объем параллелепипеда .

Таким образом, значение искомого интеграла можно выразить как произведение математического ожидания функции и объема n- мерного параллелепипеда :

(8)

Следовательно, необходимо найти значение математического ожидания . Его приближенное значение можно найти произведя n испытаний, получив, таким образом, выборку случайных векторов, имеющих равномерное распределение на . Обозначим и . Для оценки математического ожидания воспользуемся результатом

, (9)

где ,

,

- квантиль нормального распределения, соответствующей доверительной вероятности .

Умножив двойное неравенство из (9) на получим интервал для I:

. (10)

Обозначим точечную оценку . Получаем оценку (с надежностью ):

. (11)

Аналогично можно найти выражение для относительной погрешности :

. (12)

Если задана целевая абсолютная погрешность , из (11) можно определить объем выборки, обеспечивающий заданную точность и надежность:

. (13)

Если задана целевая относительная погрешность, из (12) получаем аналогичное выражение для объема выборки:

. (14)


1.3 Сплайн – интерполяция.


В данном программном продукте реализована возможность задавать дополнительные ограничения области интегрирования двумя двумерными сплайн – поверхностями (для подынтегральной функции размерности 3). Для задания этих поверхностей используются двумерные сплайны типа гибкой пластинки \4\.

Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают агрегатную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Сплайн – функция имеет следующий вид:

. (15)

Исходные данные представляют собой троек точек .

Коэффициенты и определяются из системы:

, (16)

где ,

.


1.4 Алгоритм расчета интеграла


Реализованный алгоритм включает следующие шаги:

  1. выбирается начальное значение , разыгрываются случайные векторы из и определяются и ;

  2. в зависимости от вида погрешности (абсолютная, относительная) определяется достигнутая погрешность; если она меньше целевой, вычисление прерывается;

  3. по формулам (13) или (14) вычисляется новый объем выборки;

  4. объем выборки увеличивается на 20%

  5. переход к шагу 1;

  6. конец.


2. ГЕНЕРАТОР ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ


2.1 Генератор псевдослучайных чисел применительно к методу Монте – Карло.


В любом алгоритме использующем метод Монте – Карло генератор псевдослучайных чисел играет очень важную роль. Степень соответствия псевдослучайных чисел заданному распределению является важным фактором проведения качественных статистических испытаний.


2.2 Алгоритм генератора псевдослучайных чисел


В программе реализован конгруэнтный метод генерации псевдослучайных чисел \3\:

, (17)

где =8192,

=67101323.

Авторский код, реализующий защиту от переполнения был, реализован на С++. Перед использование первые три числа последовательности удаляются. Для получении чисел из интервала (0,1) все числа делятся на .


2.3 Проверка равномерности распределения генератора псевдослучайных чисел.


Проверка равномерности распределения псевдослучайных чисел проводилась с помощью стандартного критерия χ2 \2\.

Были использованы 3 последовательности псевдослучайных чисел, определяемых стартовыми значениями 1, 1001, 1000000 длиной 300000.

Интервал (0,1) подразделялся на 50 равных интервалов и программно подсчитывались абсолютные частоты (рис. 1).

Рис. 1

Результаты проверки приведены в Таблице 1.


Таблица 1


стартовое значение ГСЧ


1

1001

1000000

хи-квадрат

44.0533333333333

45.007

48.618

df

50

50

50

p-значение

0.709735881642893

0.673522612551685

0.528941919633451


Следовательно, равномерность распределения не отвергается на уровне 5%.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ


В заключение можно сказать, что поставленная задача была полностью выполнена. То есть на языке С++ были разработаны генератор псевдослучайных чисел, функция рассчитывающая интеграл методом Монте – Карло (Приложение 1); был проведен расчет тестовых многомерных интегралов (Приложение 2); в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises 7.0 был создан программный продукт «CarloS», реализующий описанные выше алгоритмы (Приложение 3).


СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


  1. Бережная Е. В., Бережной В. И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 368 с.

  2. Мюллер П., Нойман П., Шторм Р. Таблицы по математической статистике. – М.: Финансы и статистика, 1982. – 278 с.

  3. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. – М.: Мир, 1988. – 208 с.

  4. Baranger J. Analyse numérique. Hermann, 1991.

  5. Маделунг Э. Математический аппарат физики. Справочное руководство. М.: Наука, 1968., с.287.

  6. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и математическая статистика – М.: Высшая школа, 2003


ПРИЛОЖЕНИЕ 1


ЛИСТИНГИ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

Листинг 1 Функция расчета интеграла


void integral ()

{

// вычисление интеграла методом Монте – Карло


// размерность области интегрирования

unsigned d_int=fun_dim;


//----- 3 d график --------------------------------------------------------


// максимальное число троек

unsigned plot_dim_max=10000;


// матрица троек

pmatd xyz,xyz_tmp;


if (d_int==3) xyz=new matd(plot_dim_max,3);


//-------------------------------------------------------------------------


// индикатор относительной погрешности

mcres.relok=Read1double("error_type.txt");


// целевая погрешность

mcres.dlt_int=Read1double("error_value.txt");


// номер стандартного значения доверительной вероятности (начиная с 0)

int nome_int=Read1double("error_omega.txt");


// ГСЧ

unsigned long b=m_rng*m_rng-d_rng,c,r,i,PSChunk;


// "росток" ГСЧ

mcres.rng_seed=Read1double("rng_seed.txt");


pmatd fun_b, fun_A, con_b, con_A, con_U, con_v, \

a_int, b_int, ba_int, x_int, xyz_top, xyz_bottom;


unsigned j,ii,jj,con_ok;


struct date dat;

struct time tim;


pspl2d sp_top,sp_bottom;


// квантили нормального распределения

double omegas_int[6]={0.9,0.95,0.99,0.999,0.9999,0.99999};

double zs_int[6]={1.64485362695147,1.95996398454005,2.5758293035489, \

3.29052673149191, 3.89059188641317, 4.4171734134667};

mcres.omega_int=omegas_int[nome_int];

mcres.z_int=zs_int[nome_int];


double fun_cd,con_wd,fu_int,con_sum,sum1_int,sum2_int;

// вид интегрируемой функции

// 0 - постоянная

// 1 - линейная

// 2 - квадратичная

mcres.fun_type=Read1double("fun_kind.txt");


// вид системы ограничений

// 0 – отсутствуют (весь параллелепипед)

// 1 - линейные

// 2 - квадратичное

// 3 – сплайн - поверхности

mcres.con_type=Read1double("con_type.txt");


// загрузка параметров интегрируемой функции

switch (mcres.fun_type)

{

case 2: fun_A=new matd("fun_A.txt");

case 1: fun_b=new matd("fun_b.txt");

case 0: fun_cd=Read1double("fun_c.txt");

}


// загрузка параметров ограничений

switch (mcres.con_type)

{

case 3: // сплайн - поверхности

// верхняя

xyz_top=new matd("xyz_top.txt");


// нижняя

xyz_bottom=new matd("xyz_bottom.txt");


// двумерная интерполяция

sp_top=new spl2d(xyz_top);

sp_bottom=new spl2d(xyz_bottom);

break;

case 2: // квадратичная функция ограничений

con_U=new matd("con_U.txt");

con_v=new matd("con_v.txt");

con_wd=Read1double("con_w.txt");

break;

case 1: // линейные ограничения

con_b=new matd("con_b.txt"); con_A=new matd("con_A.txt");

}


// объемлющий параллелепипед

a_int=new matd("con_xmin.txt");

b_int=new matd("con_xmax.txt");

// разность границ параллелепипеда

ba_int=new matd;

ba_int=&(*b_int - (*a_int));


// аргумент интегрируемой функции

x_int=new matd(d_int,1);


//объем объемлющего параллелепипеда

mcres.V0_int=1;

for (j=1; j <= d_int; j++)

{

if (_p(ba_int,j,1) <= 0)

{

DbBox("Нижняя граница объемлющего параллелепипеда выше верхней для \

координаты ",j);

goto clean_exit;

}


mcres.V0_int=mcres.V0_int*_p(ba_int,j,1);

}


// начальный объем выборки

mcres.n1_int=10000;


// основной цикл для достижения заданной точности


// число итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности

mcres.n_ite=0;


getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_start=dostounix(&dat,&tim);


WaitForm->Show();


while (1)

{

mcres.n_ite++;


WaitForm->Edit1->Text=mcres.n_ite;

WaitForm->Edit2->Text=mcres.n1_int;

WaitForm->ProgressBar1->Position=0;

WaitForm->Refresh();


// генерация случайных точек и накопление суммы

sum1_int=0; sum2_int=0;


mcres.in_G_int=0;


PSChunk=long(mcres.n1_int/50.0);


// запуск ГСЧ

r=mcres.rng_seed;

for (i=1; i < 3; i++)

{

c=int(r/m_rng);

r=b*c+m_rng*(r-m_rng*c);

if (r > d_rng) r=r-d_rng;

}


for (i=1; i <= mcres.n1_int; i++)

{

// случайный вектор

for (j=1; j <= d_int; j++)

{

// случайное число

c=int(r/m_rng);

r=b*c+m_rng*(r-m_rng*c);

if (r > d_rng) r=r-d_rng;

_p(x_int,j,1)=_p(a_int,j,1)+_p(ba_int,j,1)*double(r)/d_rng;

}


// прогресс

if (!(i % PSChunk))

{

WaitForm->ProgressBar1->Position=100.0*(i-1)/(mcres.n1_int-1);

WaitForm->Refresh();

}


// проверка ограничения

con_ok=1;

switch (mcres.con_type)

{

case 3: // сплайн поверхности

if ((_p(x_int,3,1) < sp_bottom->f(_p(x_int,1,1), \

_p(x_int,2,1)))||(_p(x_int,3,1) > sp_top->f(_p(x_int,1,1),_p(x_int,2,1)))) con_ok=0;

break;

case 2: // квадратичная функция ограничений

con_sum=0;

for (ii=1; ii <= d_int; ii++)

for (jj=1; jj <= d_int; jj++)

if (_p(con_U,ii,jj) != 0)

con_sum += _p(x_int,ii,1)*_p(con_U,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);


for (ii=1; ii <= d_int; ii++)

if (_p(con_v,ii,1) != 0)

con_sum += _p(con_v,ii,1)*_p(x_int,ii,1);


if (con_sum > con_wd) con_ok=0;

break;

case 1: // линейная функция ограничений

for (ii=1; ii <= con_A->nl; ii++)

{

con_sum=0;

for (jj=1; jj <= d_int; jj++)

con_sum += _p(con_A,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);

if (con_sum > _p(con_b,ii,1)) { con_ok=0; break; }

}

}


fu_int=0;

if (con_ok != 0)

{

mcres.in_G_int++;


// точки 3d графика

if (d_int==3)

if (mcres.in_G_int <= plot_dim_max)

{

_p(xyz,mcres.in_G_int,1)=_p(x_int,1,1);

_p(xyz,mcres.in_G_int,2)=_p(x_int,2,1);

_p(xyz,mcres.in_G_int,3)=_p(x_int,3,1);

}


// значение интегрируемой функции

switch (mcres.fun_type)

{

case 2: // квадратичный член

for (ii=1; ii <= d_int; ii++)

for (jj=1; jj <= d_int; jj++)

if (_p(fun_A,ii,jj) != 0)

fu_int += _p(x_int,ii,1)*_p(fun_A,ii,jj)*_p(x_int,jj,1);

case 1: // линейный член

for (ii=1; ii <= d_int; ii++)

if (_p(fun_b,ii,1) != 0)

fu_int += _p(fun_b,ii,1)*_p(x_int,ii,1);

case 0: // постоянная

fu_int += fun_cd;

}

}


sum1_int+=fu_int; sum2_int+=fu_int*fu_int;

}


// оценка мат. ожидания и дисперсии

mcres.f1_int=sum1_int/mcres.n1_int;

mcres.vari_int=(sum2_int-sum1_int*sum1_int/mcres.n1_int)/(mcres.n1_int-1);


// расчет погрешности

if (mcres.relok==0)

{

// абсолютная погрешность

mcres.deltar=mcres.V0_int*mcres.z_int*sqrt(mcres.vari_int/mcres.n1_int);

}

else

{

// относительная погрешность

if (mcres.f1_int!=0)

{

mcres.deltar=mcres.z_int/fabs(mcres.f1_int)*sqrt(mcres.vari_int/mcres.n1_int);

}

else

{

// форма результатов

mcres.inte_int=0;

mcres.deltar=0;


getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_end=dostounix(&dat,&tim);

mcres.t_calc=mcres.t_end-mcres.t_start;


InfoBox("Оценка интеграла = 0 (выбрана относ. погрешность), вычисление \

прервано.");

ResultForm->Show();


WaitForm->Close();

goto clean_exit;

}

}


WaitForm->Edit3->Text=mcres.deltar;

WaitForm->Refresh();


if (mcres.deltar < mcres.dlt_int)

{

// точность достаточна

mcres.inte_int=mcres.V0_int*mcres.f1_int;


getdate(&dat); gettime(&tim); mcres.t_end=dostounix(&dat,&tim);

mcres.t_calc=mcres.t_end-mcres.t_start;

ResultForm->Show();

break;

}


// вычисление нового объема выборки

if (mcres.relok==0)

{

// абс. погрешность

mcres.n1_int=ceil(mcres.vari_int*pow(mcres.V0_int*mcres.z_int/mcres.dlt_int,2));

}

else

{

// отн.погрешность

mcres.n1_int=ceil(mcres.vari_int*pow(mcres.z_int/mcres.dlt_int/mcres.f1_int,2));

}


// корректировка объема выборки в большую сторону

//для сокращения числа итераций

mcres.n1_int=1.2*mcres.n1_int;


// минимальный объем выборки

if (mcres.n1_int < 1000) mcres.n1_int=1000;


} // конец основного цикла


WaitForm->Close();


// 3d график

if (d_int==3)

{

if (mcres.in_G_int==0)

{

// множество точек пусто

Zero_File("xyz.txt");

}

else

if (mcres.in_G_int < xyz->nl)

{

// точек не набралось, чтобы заполнить матрицу

xyz_tmp=new matd(mcres.in_G_int,3);

for (i=1; i <= mcres.in_G_int; i++)

{

_p(xyz_tmp,i,1)=_p(xyz,i,1);

_p(xyz_tmp,i,2)=_p(xyz,i,2);

_p(xyz_tmp,i,3)=_p(xyz,i,3);

}

xyz_tmp->txprint("xyz.txt");

delete xyz_tmp;

}

else

{

// вся матрица заполнена

xyz->txprint("xyz.txt");

}

} // конец d_int==3


clean_exit:

// очистка памяти

if (d_int==3) delete xyz;


switch (mcres.fun_type)

{

case 2: delete fun_A;

case 1: delete fun_b;

}


switch (mcres.con_type)

{

case 3: delete xyz_top,xyz_bottom,sp_top,sp_bottom; break;

case 2: delete con_U,con_v; break;

case 1: delete con_b,con_A;

}


delete a_int,b_int,ba_int,x_int;

} //integral

Листинг 2 структура для хранения результатов расчета интеграла

struct mcres_struct

{

// индикатор относительной погрешности

int relok;

// целевая погрешность

double dlt_int;

// достигнутая погрешность

double deltar;

// доверительная вероятность

double omega_int;

// квантиль норм. распределения

double z_int;

// "росток" ГСЧ

unsigned long rng_seed;

// ÷число итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности

unsigned n_ite;

// объем выборки на последней итерации

unsigned long n1_int;

// число точек попавших в область интегрирования

unsigned in_G_int;

// интеграл

double inte_int;

// объем объемлющего параллелепипеда

double V0_int;

// выборочное среднее

double f1_int;

// выборочная дисперсия

double vari_int;

// время начала счета

time_t t_start;

// время окончания счета

time_t t_end;

// продолжительность вычисления интеграла

time_t t_calc;

// вид интегрируемой функции

int fun_type;

// вид системы огрничений

int con_type;

}; // mcres_struct


ПРИЛОЖЕНИЕ 2


ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ


Пример 1 Интеграл от квадратичной функции по 3-мерному симплексу.

Точное значение интеграла:

Приближенное значение найдено для целевой абсолютной погрешности 0.00001.

Погрешность: 0.000034416630896 или 0.014749984670 %.

Примеры 2-10 Объемы многомерных шаров

Точные и приближенные объемы многомерных шаров приведены в следующей таблице.


123

Объем

точный

Объем приближенный

Оценка CarloS

Относительная погрешность, %

2

3.1415926535897932385

3.1504

0.280346543342

3

4.1887902047863909846

4.2032

0.344008520578

4

4.9348022005446793096

4.98099547511312

.936071451118

5

5.2637890139143245968

5.18913116403891

-1.4183290720439

6

5.1677127800499700296

5.16153372226575

-.1195704569352

7

4.7247659703314011698

4.70163814726423

-.4895019819476

8

4.0587121264167682184

3.98117943332154

-1.9102782035357

9

3.2985089027387068695

3.30542485033746

.209668908064

10

2.5501640398773454440

2.55096385956571

.31363460384e-1


1 Источник [5], с. 287.

2 Вычислено в Maple (20 значащих цифр).

3 Расчет с целевой относительной погрешностью 2%


Случайные файлы

Файл
156615.doc
74449.rtf
168088.rtf
47650.rtf
174862.rtf