Семейства решений с постоянной четной частью (85844)

Посмотреть архив целиком

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины





Курсовая работа



"Семейства решений с постоянной четной частью"



















Гомель, 2005


Реферат


В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.

В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Библиография – 5 названий.




Содержание


Введение

1. Определение и свойства отражающей функции

2. Простейшая система

3. Система чет-нечет

4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть

5. Семейства решений с постоянной четной частью

Заключение

Литература




Введение


Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.

Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.




1. Определение и свойства отражающей функции


Рассмотрим систему


, (1.1)


считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через обозначим интервал существования решения

Пусть


.


Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой (*) или формулами .

Для отражающей функции справедливы свойства:

1). Для любого решения , системы верно тождество


; (1.2)


2). Для отображающей функции любой системы выполнены тождества:


; (1.3)


3). Дифференцируемая функция будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных


(1.4)


и начальному условию


. (1.5)


Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку проходит некоторое решение системы (1.1), и следуют тождества (1.3).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по и воспользуемся тем, что – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество



из которого в силу произвольности решения следует, что – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1) – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле


,


и поэтому решение системы (1.1) будет – периодическим тогда и только тогда, когда есть решение недифференциальной системы


(1.6)


В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция – периодична и нечетна по , т. е. и . Тогда всякое продолжение на отрезок решение системы (1.1) будет – периодическим и четным по .

Для доказательства достаточно заметить, что функция удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на решение системы (1.1) будет – периодическим. Четность произвольного решения системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.


2. Простейшая система


Простейшей называют систему вида


(2.1),


где отражающая функция этой системы.

Теорема: Пусть (2.2) простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).

Если система простейшая,


;


.


Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.


3. Система чет-нечет

Рассмотрим систему


(3.1)


Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а.) Функция непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;

б.) Правая часть системы (3.1) – периодична по .

Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок решение этой системы будет – периодическим тогда и только тогда, когда


,


где – есть нечетная часть решения .

Пусть – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.

Пусть – решение системы (3.1), для которого . Тогда , и поэтому . Таким образом, точка есть неподвижная точка отображения за период, а решение – периодическое.

Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части. Иногда относительно можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:


(3.2)


Так как решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2) на и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество


(3.3)


Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:


;


.


Таким образом, вектор-функция


(3.4)


Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка


: ;



При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.


4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть


1.


Найдем решение:


;


;










Таким образом:


Сделаем проверку:


;


Четная часть общего решения:


2.


Найдем решение:










Таким образом:


Сделаем проверку: ;


;, четная часть общего решения


3.


Найдем решение:









.


Сделаем проверку:









Таким образом: Четная часть общего решения



Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:



где и – нечетные функции, а четная часть представлена константой.




(4.1)


Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.


5. Семейства решений с постоянной четной частью


Рассмотрим систему


(5.1)


Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда не будет зависеть от .

Рассмотрим уравнение . Его решение


.


Возьмем отражающую функцию системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:


Случайные файлы

Файл
34789.rtf
72521.doc
73334.rtf
33700.rtf
ANTONY.DOC




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.