Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (85700)

Посмотреть архив целиком
















Курсовая работа


"Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами"




Содержание


Перечень условных обозначений

Введение

1. Необходимые определения и обозначения

2. Используемые результаты

3. Определения, примеры и общие свойства -перестановочных подгрупп

4. Конечные группы с заданными -перестановочными подгруппами

Заключение

Список использованных источников




Перечень условных обозначений


 – знак строгого включения множеств;

 – знак включения множеств;

 – принадлежность элемента множеству;

 – объединение множеств;

 – пересечение множеств;

 –  является подгруппой группы ;

 –  является собственной подгруппой группы ;

 –  является максимальной подгруппой группы ;

 –  является нормальной подгруппой группы ;

 –  является субнормальной подгруппой группы ;

 –  является минимальной нормальной подгруппой группы ;

Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

 – подгруппа, сопряжённая подгрупп  посредством элемента ;

 – циклическая группа порядка ;

 – симметрическая группа степени ;

 – ядро подгруппы  в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с  в ;

 – подгруппа, порожденная всеми подгруппами, сопряженными с подгруппой  из  элементами  из , то есть ;

 – централизатор множества T в группе G;

 – центр группы G;

 – нормализатор подгруппы  в группе ;

 – наибольшая нормальная подгруппа нечетного порядка группы ;

 – наибольшая нормальная –подгруппа группы ;

 – –холловская подгруппа группы ;

 – силовская –подгруппа группы ;

 – дополнение к силовской –подгруппе в группе , т.е. –холловская подгруппа группы ;

 – группа G изоморфна группе ;

Пусть  – группа,  и , тогда:

 – правый смежный класс,

 – левый смежный класс;

 – правая трансверсаль подгруппы 

в группе ;

 – левая трансверсаль подгруппы 

в группе ;

 – индекс подгруппы  в группе ;

 – порядок группы G;

Пусть и  – подгруппы группы  и , тогда:

 – двойной смежный класс группы  по подгруппам

 и ;

 – факторгруппа группы  по подгруппе ;

 – прямое произведение подгрупп A и B;

 – цоколь группы ;

 – коммутатор элементов  и ;

 – коммутант группы G;

 – множество всех простых чисел;

 – дополнение к  во множестве , где  – некоторое множество простых чисел;

–-длина группы .



Введение


Напомним, что подгруппа  группы  перестановочна с подгруппой , если . Если  перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в  [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп  и  произведение  также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе , то  субнормальна в  [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы  конечной группы ,  – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,  [18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы  и  группы  неперестановочны, но существует подгруппа  такая, что  для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть ,  – подгруппы группы  и . Тогда мы говорим, что:

(1)  является -перестановочной с , если для некоторого  имеем .

(2) является наследственно -перестановочной с , если  для некоторого .

Заметим, что  – перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа  группы  называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств -перестановочных подгрупп.




1. Необходимые определения и обозначения


Бинарной алгебраической операцией на множестве  называют отображение декартова квадрата  во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре  элементов из  соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на  обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо  условимся писать , то вместо  пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если  для всех .

Если  для всех , то операция называется ассоциативной.

Если  для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент  называется единичным, если  для всех .

Обратным к элементу  называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых .

Группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т.е.  для всех  и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.  для любых ;

(3) в  существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что  для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого  существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число  элементов в порядком группы .

Также группой называется непустое множество  с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения ,  имеют решения для любых элементов .

Подмножество  группы  называется подгруппой, если  – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись  читается так:  – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество  конечной группы  называется подгруппой, если  для всех  и 

Каждая группа  обладает единичной подгруппой . Сама группа  также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы  это такая подгруппа  из , которая отлична от  и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть  – подмножество группы  и . Через





обозначим подмножество всех элементов группы  вида , где  пробегает все элементы множества . Подмножество  называется подмножеством, сопряженным подмножеству  посредством элемента .

Подгруппа  называется подгруппой, сопряженной подгруппе  посредством элемента .

Пусть  – непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества  в группе  и обозначается через . Таким образом,



Центром группы  называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы  обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы  совпадает с централизатором подмножества  в группе . Кроме того,





Зафиксируем элемент  в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,





Для элемента  имеются следующие две возможности.

Все степени элемента  различны, т.е.  для целых . В этом случае говорят, что элемент  имеет бесконечный порядок.

Имеются совпадения  при . Если, например, , то  и , т.е. существуют натуральные степени элемента , равные единичному элементу. Наименьшее натуральное число , при котором  называют порядком элемента  и пишут 

Если группа  совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то группу  называют циклической группой. В этом случае в группе  имеется элемент  такой, что , все элементы в группе  являются целыми степенями элемента :






Случайные файлы

Файл
17530-1.rtf
29222-1.rtf
27830.rtf
18976.rtf
108824.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.