Измеримые функции (85629)

Посмотреть архив целиком

Определение и простейшие свойства измеримой функции


Если каждому x из множества E поставлено в соответствие некоторое число f(x), то мы будем говорить, что на множестве E задана функция f(x). При этом мы допускаем и бесконечные значения функции, лишь бы они имели определенный знак, т.е. вводим «несобственные» числа - и +. Эти числа связаны между собой и с любым конечным числом a неравенствами

-<a<+,

и мы устанавливаем для них следующие законы действий:

+±a=+, ++(+)=+, +-(-)=+,

-±a=-, -+(-)=-, --(+)=-,

½+½=½-½=+, +×a=a×(+)=+,

-×a=a×(-)=-, если a>0,

+×a=a×(+)=-,

-×a=a×(-)=+, если a<0

0×(±)=(±0=0,

(+)×(+)=(-)×(-)=+,

(+)×(-)=(-)×(+)=-,

=0.

Здесь a обозначает вещественное конечное число. Символы

+¥-(+¥), -¥-(-¥), +¥+(-¥), -¥+(+¥).

,

мы считаем лишенными смысла.

Имея дело с функцией f (x), заданной на множестве E, мы будем символом

E(f>a)

обозначать множество тех x из множества Е, для которых выполнено неравенство f(x)>а.

Аналогичным образом вводятся символы

Е(f³а), Е(f=а), Е(f£а), Е(а<f£b)

и т.п. Если множество, на котором задана функция f(x), обозначено какой-либо другой буквой, например А или В, то мы соответственно будем писать

А(f>а), В(f>а)

и т.п.

Определение 1. Функция f(x), заданная на множество Е, называется измеримой, если измеримо это множество Е и если при любом конечном а измеримо множество

Е(f>а).

В связи с тем, что здесь речь идет о множествах, измеримых в смысле Лебега, часто (желая подчеркнуть именно это обстоятельство) говорят об измеримой (L) функции. Если же Е и все множества Е(f>а) измеримы (В), то и f(x) называется измеримой (В) функцией.

Теорема 1. Всякая функция, заданная на множестве меры нуль, измерима.

Это утверждение очевидно.

Теорема 2. Пусть f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е. Если А есть измеримое подмножество Е, то f(x), рассматриваемая только для xÎА, измерима.

Действительно, А(f>а) =А×Е (f>а).

Теорема 3. Пусть f(x) задана на измеримом множестве Е, представимом в форме суммы конечного числа или счетного множества измеримых множеств Еk :

E=×

Если f(x) измерима на каждом из множеств ER., то она измерима и на Е.

В самом деле, E(f>a)= .

Определение 2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же множестве Е, называются эквивалентными, если

mE (f¹g)=0

Обозначать эквивалентность функций f(x) и g(x) принято так:

f (x) ~g(x).

Определение 3. Пусть некоторое обстоятельство S имеет место для всех точек какого-нибудь множества Е, кроме точек, входящих в подмножество Е0 множества Е. Если mЕ0 = 0, то говорят, что S имеет место почти везде на множестве Е, или почти для всех точек Е.

В частности, множество исключительных точек Е0 может быть и пустым.

Теперь можно сказать, что две функции, заданные на множестве Е, эквиваленты, если они ровны почти везде на Е.

Теорема 4. Если f(х) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, а g(x) ~ f(x), то g(x) также измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А = Е (f ¹ g), B = EA. Тогда mA = 0, так что В измеримо. Значит функция f(x) измерима на множестве В. Но на множестве В функции f(x) и g(x) неотличимы, так что g(x) измерима на В. Поскольку g(x) измерима и на А (ибо mA = 0), она измерима на Е = А + В.

Теорема 5. Если для всех точек измеримого множества Е будет f(x) = c, то функция f(x) измерима.

Действительно,

E (f > a) =


Заметим, что в этой теореме с может быть и бесконечным.

Функция f(x), заданная на сегменте [а, b], называется ступенчатой, если [а,b] разложить точками.

с0 = а< с12<…<сn = b

на конечное число частей, в н у т р и которых (т.е. в интервалах (сk, ck + 1) при k = 0, 1, …., n –1) функция f(x) постоянна. Легко понять, что из теоремы 5 вытекает

Следствие. Ступенчатая функция измерима.

Теорема 6. Если f(x) есть измеримая функция, заданная на множестве Е, то при любом а измеримы множества

E (f ³ a), E (f = a), E (f £ a), E (f < a),

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что

E (f ³ a) =

откуда следует измеримость множества E (f ³ a). Измеримость прочих множеств вытекает из соотношений:

E (f = a) = E(f ³ a) – E(f > a), E(f £ a) = E – E(f > a),

E (f < a) = E – E (f ³ a).

Замечание. Легко показать, что если хоть одно из множеств

E (f ³ a), E (f £ a), E (f < a)

оказывается измеримым при всяком а, то функция f(x) измерима на множестве Е (которое также предполагается измеримым).

Действительно, тождество ) показывает, например, что f(x) измерима, если измеримы все множества Е (f³а). Сходным образом устанавливаются и остальные утверждения. Таким образом, в определении измеримой функции можно заменить множество Е (f>a) любым из множеств (1).

Теорема 7. Если функция f(x), заданная на множестве Е, измерима, а k конечное число, то измеримы и функции 1) f(x) + k, 2) kf(x), 3) çf (x)ç, 4) f2 (x), и если f(x) ¹0, то измерима и функция 5) .

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Измеримость функции f(x) + k вытекает из соотношения Е (f+ k >a) = E (f>a- k).

2) Измеримость функции kf(x) при k =0 следует из теоремы 5. Для прочих k измеримость следует из очевидных соотношений

3) Функция çf(x) ç измерима потому, что

4) Аналогично, из того , что

E (f2 > a) =

вытекает измеримость функции f 2 (x).

5) Наконец, при f(x) ¹ 0 имеем

> a) =

откуда и следует измеримость .

Теорема 8. Функция f(x), заданная и непрерывная на сегменте Е=, измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего установим, что множество

F = E (f£ a)

замкнуто. Действительно, если x0 есть предельная точка этого множества и xn®x0 (x n ÎF ), то f(xn) £a и, в силу непрерывности f(x), будет f(x0 ) £a, т.е. x0 ÎF, что и устанавливает замкнутость множества F.

Но тогда множество Е (f>а) = Е – Е(f£а) измеримо, и теорема доказана.

Из самого определения измеримой функции следует, что функция, заданная на неизмеримом множестве, неизмерима.

Однако легко обнаружить существование неизмеримой функции, заданной на измеримом множестве.

Определение 4. Пусть М есть подмножество сегмента Е = [А, В]. Функция jм (х), равная единице на множестве М и нулю на множестве Е–М, называется характеристической функцией множества М.

Теорема 9. Множество М и его характеристическая функция jм одновременно измеримы или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция jM (х) измерима, то измеримость множества М вытекает из соотношения

М = Е (jм > 0).

Обратно, если М есть измеримое множество, то соотношения

устанавливают измеримость функции jМ (х).

Отсюда, между прочим, весьма просто получаются примеры разрывных измеримых функций.






Дальнейшие свойства измеримых функций


Лемма. Если на множестве Е заданы две измеримые функции f(х) и g(х), то множество Е (f >g) измеримо.

Действительно, если мы перенумеруем все рациональные числа r1, r2, r3, …, то легко проверим справедливость соотношения

Е (f > g) = Е (f > rk) Е (g < rk),

откуда и следует лемма.

Теорема 1. Пусть f(х) и g(х) суть конечные измеримые функции, заданные на множестве Е. Тогда измерима каждая из функций 1) f(х) – g(х), 2) f(х) + g (х), 3) f(х) . g(х), и если g(х) ¹ 0, то измерима также функция 4).

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Функция а + g(х) измерима при любом а. Значит (на основании леммы), множество Е (f > а+g ), а так как E(f-g>a)=E(f>a+g), то измерима функция f (х) – g(х).

2) Измеримость суммы f(х) + g(х) следует из того, что

f(х) + g(х) = f(х) – [ - g (х)].

3) Измеримость произведения f(x) .g(x) вытекает из тождества

f(x) .g(x)={[f(x)+g(x)]-[f(x)-g(x)]}

и теоремы 7

4) Наконец, измеримость частного есть следствие тождества

=f(x) ·.

Эта теорема показывает, что действия арифметики, будучи применены к измеримым функциям, не выводят нас за пределы этого класса функций. Следующая теорема устанавливает сходный результат относительно уже не арифметической операции – предельного перехода.

Теорема 2. Пусть на множестве Е задана последовательность измеримых функций f1(x), f2(x), … Если в каждой точке хЕ существует (конечный или бесконечный) предел

F(x)=fn(x),

то функция F(х) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольные а и введем в рассмотрение множества

А=Е(f> a + ), В=.

Эти множества, очевидно, измеримы, и для доказательства теоремы достаточно проверить, что

E(F>a) = .

Займемся же проверкой этого тождества.

Пусть хЕ (F>a), тогда F (x0) > a, и найдется такое натуральное m, что F(x0) > a + 1/m. Поскольку же fk (x) F (x0), то найдется такое n, что при kn будет

fk(x0) > a + .

Иначе говоря, х0 А при всех kn, а тогда х0 В и тем более х0. Отсюда следует, что Е (F > a) .

Теперь остается установить обратное включение

E (F > a),

и теорема будет доказана.

Пусть х0. Тогда х0 Впри некоторых фиксированных n и m. Это значит, что х0 А для kn. Иначе говоря для kn будет fk(x0) > a+1/m.

Устремляя k к бесконечности и переходя в последнем неравенстве к пределу, получим, что F(x0)>a, т.е. x0 ÎE (F>a). Этим и доказано включение (*). Доказанная теорема допускает следующее обобщение.

Теорема 3. Пусть на множестве E заданы измеримые функции f1(x), f2(x), … и некоторая функция F(x). Если соотношение

(a)

выполняется почти везде на Е, то F(x) измерима.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через А множество всех точек X Î Е, в которых соотношение (a) не имеет места (в этих точках предела может вовсе не существовать). По условию, mA=0 и F(x) измерима на множестве А. По теореме 2 она измерима и на множестве Е – А, а тогда она измерима и на всем множестве Е.













Последовательности измеримых функций. Сходимость по мере.


В этом месте нам придется рассматривать множества вида Е (|fg| ³ s), Е (|fg| < s), где f(x) и g(x) суть функции заданные не множестве Е, а s некоторое положительное число. При этом точки, в которых обе функции f(x) и g(x) принимают бесконечные значения одного знака, строго говоря, не входят ни в одно из этих множеств, поскольку в этих точках разность f(x) – g(x) лишена смысла. Так как указанное обстоятельство представляет известные неудобства, то мы раз и навсегда условимся эти точки относить к множеству Е (|fg| ³ s). При таком соглашении очевидно

Е = Е (|fg| ³ s) + Е (|fg| < s)

и слагаемые правой части не пересекаются.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций f1(x), f2(x), f3(x), …, которая почти во всех точках Е сходится к почти везде конечной функции f(x). Тогда, каково бы ни было s>0, будет

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что в силу теоремы 3, предельная функция f(x) также измерима и, стало быть, измеримы те множества, о которых идет речь.

Положим

А = Е(|f| = + ¥), An = E(|fn| = + ¥), B = E (fn не ® f)

.

Очевидно,

MQ = 0 (1)

Пусть, далее,

, , .

Все эти множества измеримы.

Так как R1(s)ÉR2(s)ÉR3(s)É…, то, в силу теоремы 12, при n ®¥ будет

mRn(s)®mM. (2)

Убедимся в том, что

MÌQ. (3)

В самом деле, если , то , причем все числа f1(x0), f2(x0), … и их предел f (x0) – конечны. Значит найдется такое n, что для k ³ n будет |fk(x0) – f(x0) < s.

Иначе говоря (k ³ n), а потому и тем более , откуда и следует (3).

Но тогда, в силу (1), nM=0, и (2) принимает вид

(4)

Этим и доказана теорема, ибо Еn(s) Ì Rn(s).

Замечание. Отметим, что нами установлен результат (4), более сильный, чем то, что мы хотели доказать. Ниже при доказательстве теоремы Д.Ф. Егорова, нам придется воспользоваться именно этим более сильным результатом.

Доказанная теорема дает повод установить следующее

Определение. Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функций

f1(x), f2(x), f3(x), …

и измеримая и почти везде конечная функция f(x). Если, каково бы ни было положительное число s, оказывается, что

,

то говорят, что последовательность (*) сходится к функции f (x) по мере.

Мы будем, следуя Г.М.Фихтенгольцу, обозначать сходимость по мере символом

fn(x) Þ f(x).

С помощью понятия сходимости по мере можно формулировать теорему Леберга так.

Теорема 1*. Если последовательность функций сходится почти везде, то она сходится и по мере к той же предельной функции.

Следующий пример показывает, что эта теорема необратима.

П р и м е р . Определим на полусегменте [0, 1) для каждого натурального k группу из k функций: f1(k) (x), f2(k) (x), …, fk(k) (x), полагая

В частности, f1(1) (x) º 1 на [0, 1). Нумеруя все построенные функции подряд одним значком, мы получим последовательность

j1 (x) = f1(1) (x), j2 (x) = f1(2) (x), j3 (x) = f2(2) (x), j4 (x) = f1(3) (x), …

Легко видеть, что последовательность функций jn (x) сходится по мере к нулю. В самом деле, если jn (x) = fi(k) (x), то при любом s>0 будет

и мера этого множества, равная 1/k, стремится к нулю с возрастанием n.

Вместе с тем, соотношение jn (x)®0 не выполняется ни в одной точке промежутка [0, 1). Действительно, если так что fi(k) (x0) = 1. Иначе говоря, как далеко мы не продвинемся вдоль ряда чисел j1 (x0), j2 (x0), j3 (x0), …, мы всегда будем встречать в этом ряду числа, равные 1, что и доказывает наше утверждение.

Таким образом, понятие сходимости по мере есть понятие, существенно более общее, чем понятие сходимости почти везде и тем более, чем понятие сходимости везде.

Естественно спросить, в какой степени соотношение

fn(x) Þ f(x)

определяет функцию f(x), т.е. единственна ли предельная функция при сходимости по мере.

Теоремы 2 и 3 позволяют ответь на этот вопрос.

Теорема 2. Если последовательность функций fn(x) сходится по мере к функции f(x), то эта же последовательность сходится по мере ко всякой функции g(x), эквивалентной функции f(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом s > 0 будет

E( êfn g ê ³ s ) Ì E( f ¹ g) + E( çfn - f ç ³ s),

откуда (поскольку mE (f ¹ g) = 0)

mE (êfng ê³ s) £ mE(çfnf ç³ s),

что и доказывает теорему.

Теорема 3. Если последовательность функций fn(x) сходится по мере к двум функциям f(x) и g(x), то эти предельные функции эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко проверить, что при s > 0 будет

(*)

ибо точка, не входящая в правую часть этого соотношения, и подавно не может входить и в левую часть. Но соотношения


Случайные файлы

Файл
160055.rtf
26360-1.rtf
ZAPISKA.DOC
318-1.rtf
28894-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.