Ответы на экзамен (Формула Тейлора с ост членом в форме Пеано)

Посмотреть архив целиком

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

Т
еорема №1:
Если функция f имеет в окрестности точки x0 непрерывную производную fn+1(х), то для любо­го х из этой окрестности найдется точка с0,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

Здесь с зависит от х и n. Если точка х0=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши



где (0<<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что произ­водная f(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замк­нутом отрезке [x0,x0+]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|
f(n+1)(x)|Mn (x0xx0+) {2}. Здесь Mn –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, завися­щее от n. Тогда

Н
еравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r
n(х) при фиксиро­ванном n в окрестности точки и для того, чтобы иссле­довать поведение rn(х) при n. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство rn(x)=o((xx0)n), xx0 {4}, показывающее, что если rn(х) разделить на (х–x0)n, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при xx0. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с оста­точным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x0.


Случайные файлы

Файл
142433.rtf
122334.doc
57531.rtf
30328-1.rtf
97101.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.