Ответы на экзамен (Выпуклость и вогнутость графиков функций)

Посмотреть архив целиком

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графиков функций:

Кривая y=f(x) обращена в точке x0 выпуклостью кверху (книзу), если существует окрестность x0 такая, что для всех точек этой окрестности касательная к кривой в точке x0 (т.е. в точке, имеющей абсциссу х0) расположена выше (ниже) самой кривой (на рис. в точ­ке х1 кривая обращена выпуклостью книзу, в точке х2 – кверху). Вместо слов "выпукла кверху (книзу)" употреб­ляются слова "вогнута книзу (кверху)". Говорят, что точка х0 есть точка перегиба кривой y=f(x), если при переходе х через x0 точка кривой (имеющая абсциссу х) переходит с одной стороны касательной на другую (на рис. точка х3 – точка перегиба). Иначе говоря, существует достаточно малое >0 такое, что для всех х00) кри­вая находится с одной стороны касательной в х0, а для всех х00+) – с другой. Указанные определения вы­деляют возможные расположе­ния кривой относительно касательной к ней в доста­точно малой окрестности точки касания. Но не нужно думать, что эти определения исчерпывают все возможные случаи такого расположения. Для функции ось х пересекает и касается графика функции в точке x=0 и х=0 не есть точка перегиба. Теорема №1: Если функция f имеет в точке x0 вто­рую непрерывную производную и f'(x0)>0 (<0), то кри­вая y=f(x) обращена в x0 выпуклостью книзу (кверху). Доказательство: Разлагаем f в окрестности х=х0 по формуле Тейлора

f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+r1(x),

r1(x)=((xx0)2/2)f''(x0+(xx0)) (при 0<<1). Запишем уравнение касательной к нашей кривой в точке, имеющей абсциссу x0: Y=f(x0)+f'(x0)(x–x0). Тогда превышение кривой f над касательной к ней в точ­ке x0 равно f(x)–Y=r1(x). Таким образом, остаток r1(х) равен величине превышения кривой f над касательной к ней в точке x0, В силу непрерывности f'' если f"(x0)>0, то и f"(x0+(xx0))>0 для х, принадлежащих достаточно малой окрестности точки x0, а потому, очевидно, и r1(х)>0 для любого отличного от x0 значения х, принадлежащего к указанной окрестности. Значит, график функции лежит выше касательной и кривая обращена в точке x0 выпуклостью книзу. Аналогично, если f''(x0)<0, то r1(х)<0 для любого отличного от x0 значения х, принадлежащего к некоторой окрестности точки x0, т.е. график функции лежит ниже касательной и кривая обращена в x0 выпуклостью кверху. Следствие: Если x0 есть точка перегиба кривой y=f(x) и в ней существует вторая производная f"(x0), то последняя необходимо равна нулю (f"( x0)=0). Этим пользуются на практике: при нахождении точек перегиба дважды дифференцируемой кривой у=f(х) ищут их среди корней уравнения f"(x)=0. Достаточное условие для существования точки перегиба у кривой дается следующей теоремой. Теорема №2: Если функция f такова, что производ­ная, f'" непрерывна в x0, a f"(x0)=0 и f'"(x0)0, то кривая у=f(х) имеет в x0 точку перегиба. Доказательство: В этом случае f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+r2(x),

r2(x)=((x–x0)3/3!)f'''(x+(x–x0)). В силу непрерывности f'''(x0) и того факта, что f'"(x0)0, следует, что f'''(x0+(xx0)) сохраняет знак в некото­рой окрестности точки х0; он один и тот же справа и слева от точки x0. С другой стороны, множитель (х– x0)3 меняет знак при переходе х через x0, а вместе с ним и величина r2(х) (равная превышению точки кривой над касательной в x0) меняет знак при переходе х через x0. Это доказывает теорему. Сформулируем более общую теорему: Теорема №3: Пусть функция f обладает следующими свойствами: f''(x0)=...=f(n)(x0)=0, f(n+1)(x) непрерывна в x0 и f(n+1)(x0)0. Тогда, если n – нечетное число, то кривая у=f(х) обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли, f(n+1)(x0)<0 или f(n+1)(x0)>0, а если n –четное, то x0 есть точка перегиба кривой. Доказательство основано на том, что при указанных условиях имеет место разложение по формуле Тейлора f(x)=f(x0)+(x–x0)f'(x0)+(((xx0)n+1)/(n+1)!)f(n+1)(x0+(xx0)). В заключение заметим, что говорят также, что кри­вая y=f(x) имеет точку перегиба в точке х, где произ­водная f равна + или–.

По определению кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если любая дуга этой кривой с концами в точках с абсциссами х1, х2(аx12b) расположена не ниже (не выше) стягивающей её хорды (рис-ки). Замечание: Если f дифференцируема на [а,b], то приведенное определение выпуклости на отрезке эквива­лентно следующему: кривая y=f(x) наз. выпуклой кверху (книзу) на отрезке [а,b], если она выпукла кверху (книзу) в каждой точке х интервала (а,b). Теорема №4: Пусть функция f непрерывна на [а,b] и имеет вторую производную на (а,b). Для того чтобы кривая y=f(x) была выпуклой кверху (книзу) на [а,b], необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялось неравенство f''(x)0 (f''(x)0) для всех х(а,b).



Случайные файлы

Файл
176636.rtf
univer.doc
24.doc
157635.rtf
168783.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.