Ответы на экзамен (Теорема Коши)

Посмотреть архив целиком

Теорема Коши:

Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [а,b] и дифференцируемы на (а,b), и g'(x)0 в (a,b), то существует точка (a,b) такая, что

(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))=f'()/g'() {1}. Доказательство: Отметим, что g(b)–g(a)0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка такая, что g'()=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f'(x)–f(a)–(f(b)–f(a))/(g(b)–g(a))[g(x)–g(a)]. В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [а,b], дифференцируема на (а,b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка (а,b), в которой F'(g)=0. Но

F'(x)=f'(x)–(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))g'(x), поэтому, подставляя вместо х точку , получаем утверж­дение теоремы. Замечание: В формуле {4} Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а<b. Но тогда [а,b] и (а,b) обозначают соответственно множества точек х, для которых bxa,b<x<a. Как следствие из теоремы Коши, при g(x)=x полу­чим теорему Лагранжа.


Случайные файлы

Файл
54541.doc
157128.rtf
ref-18652.doc
56295.rtf
133108.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.