Вариации при исчислении (85525)

Посмотреть архив целиком

1. Элементы вариационного исчисления


1.1 Понятие функционала и оператора


В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).

Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),



Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.

Примерами дифференциальных операторов могут служить:



Дадим более строгое определение функционала. Пусть A – множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если


J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).


1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала


Рис. 1.1


Задача о брахистохроне

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?

Искомая кривая и была названа брахистохроной.

Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v – скорость движущейся точки, g – ускорение силы тяжести. В то же время



Отсюда


.


Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим


(1.1)


Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию


u(0) = 0; u(а) = b (1.2)


и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.

Задача о наибольшей площади

Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.

Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям


u(а) = u(b) = 0 (1.3)


и тождеству


(1.4)


и сообщающую интегралу


(1.5)


наибольшее значение.

Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу.

Приведенные здесь задачи относятся к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением.



1.3 Постановка задачи вариационного исчисления


Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение


, (1.6)


либо максимальное значение


. (1.7)


Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала – J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М – линейное множество элементов пространства Х и ū – некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде


u = ū + η, ηєМ. (1.8)


Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.

Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие.

Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J+ η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство


J(u0) = J(u) (1.9)


Справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.

Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный – слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.


1.4 Первая вариация и градиент функционала


Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент


u + αη є D(J). (1.10)


Составим выражение J (u + αη). В силу требования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0


. (1.11)


В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.

Определение. Функционал



называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ (u, η):


. (1.12)


При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) – u1 (х).

Пример. Найти первую вариацию функционала


(1.13)


область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: uС(1) [a, b] и


u(а) = А, u(b) = В, (1.14)


где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где uD(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ (u, η) – не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13)


(1.15)


Можно показать, что интеграл:


(1.16)


есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:


η(а) = η(b) = 0. (1.17)


В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям



Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде


. (1.18)


Здесь u + αηu = αη = δu u можно записать


(1.19)


Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде


δJ (u, η) = (Рu, η). (1.20)


Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом

Р = grad J.

Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде


δJ (u, η) = (grad J(u), η) (1.21)


Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)


.


1.5 Необходимое условие минимума функционала


Пусть функционал J достигает на некотором элементе u0 относительного минимума. Возьмем произвольный элемент ηМ и произвольное вещественное число α. По определению относительного минимума при достаточно малых значениях α






Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.