Биекторы в конечных группах (85522)

Посмотреть архив целиком

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"


Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии





Курсовая работа


БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ




Исполнитель:

студент группы H.01.01.01 М-43

Векшин П.А.


Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.






Гомель 2003


Содержание


Введение

1. Основные обозначения

2. Используемые результаты

3. Основные свойства проекторов и инъекторов

4. Биекторы и их свойства

Заключение

Список использованных источников


Введение


В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.

Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.

Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.

В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов, -биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой.

В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда совпадает с классом всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.

Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).

При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.

Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.

1. Основные обозначения


группа

класс всех разрешимых групп

класс всех нильпотентных групп

является подгруппой группы

является нормальной подгруппой группы

прямое произведение подгрупп и

подгруппа Фраттини группы

фактор-группа группы по

множество всех простых делителей натурального числа

множество всех простых делителей порядка группы

коммутант группы

индекс подгруппы в группе


2. Используемые результаты


Лемма Если --- класс Шунка, то .


Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.


Лемма Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.


Теорема Если --- класс Фиттинга и --- гомоморф, то .


Следствие Если и --- радикальные формации, то .


Теорема Если --- разрешимый класс Шунка, а --- разрешимая насыщенная формация, то --- разрешимый класс Шунка.


Следствие Если и --- разрешимые насыщенные формации, то --- разрешимая насыщенная формация.


Теорема Если и --- классы Фиттинга, то --- класс Фиттинга и .


Лемма Пусть --- разрешимая группа, тогда

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то .

В частности, если и --- разрешимые группы ;

4) .


Теорема Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы сопряжены между собой.


Лемма Пусть --- разрешимая группа. Тогда:

1) ;

2) .


Лемма Для любого гомоморфа и любой группы справедливы следующие утверждения:

1) если - -проектор группы и максимальна в , то - -покрывающая подгруппа группы ;

2) если - -покрывающая подгруппа в группе и , то - -покрывающая подгруппа в ;

3) если - -покрывающая подгруппа группы и , то - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;

4) если и --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из является -покрывающей подгруппой из .


Теорема Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Тогда является -инъектором группы тогда и только тогда, когда будет -максимальной в и --- -инъектор коммутанта .


Следствие Пусть --- класс Фиттинга и --- разрешимая группа. Если --- -инъектор группы и , то --- -инъектор в .


Теорема Если --- максимальная подгруппа разрешимой группы , то ,где .


3. Основные свойства проекторов и инъекторов


Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и , то --- -подгруппа группы .

Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

Определение. -проектором группы называется такая подгруппа группы , что , является максимальной в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -биектором, если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .

Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .

Пример Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса всех -групп.

Пример В группе силовская 2-подгруппа является -биектором.

Пример Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.


4. Биекторы и их свойства


Для локальной формации каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .

В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.

Пусть --- класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса .

Для любого множества простых чисел через обозначается класс всех нильпотентных -групп.


Лемма Если --- класс Шунка, то .


Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.


Следствие Если --- локальная формация, то .


Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.


Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме (??) подгруппа является -подгруппой. Пусть --- -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то --- -подгруппа и .


Случайные файлы

Файл
1246.rtf
2573-1.rtf
10482-1.rtf
55370.rtf
146451.doc




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.