Решение систем линейных дифференциальных уравнений пятиточечным методом Адамса – Башфорта (85277)

Посмотреть архив целиком

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЯТИТОЧЕЧНЫМ МЕТОДОМ АДАМСА – БАШФОРТА

Работу выполнил студент гр.И-29 Уханов Е.В.

Кафедра “Системы и Процессы Управления”

ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”

Харьков 2001

ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях науки и техники , а также отраслях наукоемкой промышленности , таких как : авиационная , космическая , химическая , энергетическая , - являются весьма распространенные задачи прогноза протекания процессов , с дальнейшей их коррекцией .

Решение такого рода задач связано с необходимостью использования численных методов , таких как : метод прогноза и коррекции , метод Адамса-Башфорта , метод Эйлера , метод Рунге-Кута , и др. При этом , стоит задача решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка одним из методов интегрирования , на произвольном промежутке времени . Одним из оптимальных методов дающих высокую точность результатов – является пяти точечный метод прогноза и коррекции Адамса-Башфорта . Для повышения точности метода используется трех точечный метод прогноза и коррекции с автоматическим выбором шага , что приводит к универсальному методу интегрирования систем дифференциальных уравнений произвольного вида на любом промежутке интегрирования .

Разработка программных средств реализующих расчет точного прогноза протекания процессов , является важнейшей вспомогательной научно-технической задачей .

Целью данной курсовой работы является разработка алгоритма решения систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта .

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

(1.1)


тогда как :


А = (1.2)


где А заданная матрица размером N x N .

- вектор с N координатами , который подлежит определению ;

N – произвольное целое число ;

заданные вектора правых частей с N координатами .

С использованием метода прогноза и коррекции Адамса-Башфорта пятого порядка , необходимо получить значения неизвестных для заданных временных интервалов . Для стартования метода необходимо использовать метод прогноза и коррекции третьего порядка с переменным шагом , на заданных временных промежутках ..

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

2.1. Метод прогноза и коррекции

Метод прогноза и коррекции относится к задачам класса Коши , а именно к численным решениям многошаговыми методами .

Рассмотрим задачу Коши :

, (2.1.1)

Подставим в (2.1.1) точное решение y(x) , и проинтегрируем это уравнение на отрезке , тогда получим :


(2.1.2)


где в последнем член предполагаем , что p(x) полином , аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином , предположим , что - приближения к решению в точках . Будем считать для начала , что узлы Xi расположены равномерно с шагом h . тогда fi = f(xi,yi), ( i=k,k-1,k-2,…,k-N) есть приближения к f (x,y(x)) в точках и мы в качестве P возьмем интерполяционный полином для выбора данных (xi,fi) ,

( i =k,k-1,k-2,…,k-N) . Таким образом , P – полином степени N , удовлетворяющий условиям P(xi)=fi , ( i = k,k-1,k-2,…,k-N) . В принципе , можем проинтегрировать этот полином явно , что ведет к следующему методу :

(2.1.3)

В простейшем случае , когда N=0 , полином P есть константа , равная fk , и (2.1.3) превращается в обычный метод Эйлера :

(2.1.4)

Если N=1 , то P есть линейная функция , проходящая через точки

(xk-1,fk-1) и (xk,fk) , т.е.

(2.1.5)

интегрируя этот полином от Xk до Xk+1 , получим следующий метод :

(2.1.6)

который является двухшаговым , поскольку использует информацию в двух точках xk и xk-1 . Аналогично , если N=2 , то P - есть кубический интерполяционный полином , а соответствующий метод определяется формулой :

(2.1.7)

Отметим , что метод (2.1.6) – есть метод Адамса-Башфорта второго порядка , (2.1.7) – метод Адамса-Башфорта четвертого порядка .

Для стартования метода (2.1.7) необходимы сведения о четырех предыдущих точках . Соответственно данный метод требует вычисления стартующих данных . Воспользуемся для нахождения второй точки одношаговым методом Эйлера , который имеет вид :

Таким образом , подставляя начальные условия, мы находим вторую точку . Следует заметить , что степень точности совпадает со степенью точности остальных методов , что является существенным фактором в стартовании метода прогноза и коррекции .

Ввиду того , что стартовые методы имеют более низкий порядок , в начале приходится считать с меньшим шагом и с использованием большего промежутка времени . В данном случае метод Эйлера для дальнейшего интегрирования не оправдывает себя . Для этих целей воспользуемся трехшаговым методом прогноза и коррекции с переменным шагом .

Рассуждая также , как для метода Адамса-Башфорта , который излагается в работах : [1],[2],[3] , мы мы приходим к формулам :

Прогноз :

(2.1.8)

Коррекция :

(2.1.9)

где h - шаг интегрирования , изменяющийся на малом промежутке времени в соответствии с условиями Рунге :

,

где в свою очередь - малое конкретное значение , при невыполнении условия которого увеличивается шаг h=h*N а - малое конкретное значение , при невыполнении условия шаг соответственно уменьшается h=h/N , где N - некоторое целое число больше единицы .

Оптимально , для вычисления новой точки , с помощью метода прогноза и коррекции , используется формула :

(2.1.10)

Таким образом, мы воспользовались простым трех шаговым методом прогноза и коррекции , для стартования метода Адамса-Башфорта . Преимущества данного метода заключаются :в его высокой точности , авто подборе шага , что во много раз повышает точность самого метода Адамса-Башфорта , и делает его оптимальным для задач такого рода .

Метод Адамса-Башфорта использует уже посчитанные значения в точке Xk и в предыдущих точках . В принципе , при построении интерполяционного полинома , мы можем использовать и точки Xk+1,Xk+2,… . Простейший случай при этом состаит в использовании точек Xk+1,Xk,…,Xk-N

и построения интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям P(Xi)=fi , (I=k+1,k,…,k-N) . При этом возникает класс методов , известных как методы Адамса-Моултона . Если N=0 , то p – линейная функция , проходящая через точки (Xk,fk) и (Xk+1,f k+1) , и соответствующий метод :

(2.1.11)

является методом Адаиса-Моултона [2] , именно им мы воспользовались в формуле (2.1.9) – коррекции спрогнозированной точки в трех шаговом методе . Если N=2 , то p – кубический полином , построенный по точкам и соответствующий метод :

(2.1.12)

является методом Адамса-Моултона четвертого порядка . В силу того , что по сути fk+1 – неизвестная , то методы Адамса-Моултона (2.1.11),(2.1.12) называют неявными . В тоже время методы Адамса-Башфорта – называют явными .

Теперь воспользовавшись явной формулой (2.1.7) , и неявной формулой (2.1.12) , используя их совместно , мы приходим к методу Адамса-Башфорта четвертого порядка :

(2.1.13)


Стоит обратить внимание , что в целом этод метод является явным . Сначало по формуле Адамса-Башфорта вычисляется значение , являющееся “прогнозом” . Затем используется для вычисления приближенного значения , которое в свою очередь используется в формуле Адамса-Моултона . Таким образом формула Адамса-Моултона “корректирует” корректирует приближение , называемое формулой Адамса-Башфорта .

Теперь рассмотрим произвольную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка :

где

A =

Заданная матрица размером NxN ; - вектор с N координатами , который подлежит определению . В связи с тем , что связь между искомыми неизвестными определяется матрицей коэффициентов A , на каждом шаге по времени , необходимо решить систему относительно неизвестных скоростей , для её решения воспользуемся модифицированным методом Гаусса , который описан в разделе 2.2 .

Далее, интегрируя сначала ранее описанными методами : методом Эйлера на первом шаге , трех точечным методом прогноза и коррекции с авто подбором шага , на малом промежутке времени и с малым начальным шагом , для повышения точности стартующих методов на оставшемся промежутке времени производим интегрирование с постоянным шагом – пяти точечным методом прогноза и коррекции Адамса-Башфорта (2.1.13) , [2] , [3] .


Случайные файлы

Файл
47774.rtf
132200.rtf
6727-1.rtf
60895.rtf
17051-1.rtf




Чтобы не видеть здесь видео-рекламу достаточно стать зарегистрированным пользователем.
Чтобы не видеть никакую рекламу на сайте, нужно стать VIP-пользователем.
Это можно сделать совершенно бесплатно. Читайте подробности тут.