Архив шпаргалок (шпора по Матану)

Посмотреть архив целиком


Created by Baht © January’07. 6452.










Матан. Шпора.

































































1. Комплексные числа: определение, алгебраическая форма. Сопряженное комплексное число.

КЧ – множество упорядоченных пар таких, что первый элемент действительное число, второй элемент действительное число и введены две операции – сложение и умножение.

Алгебраическая форма: z=x+yi

x=Re(z) – действительная часть

y=Im(z) – мнимая часть

2. Модуль и аргумент КЧ. Тригонометрическая и экспоненциальная формы КЧ. Действия на КЧ в тригонометрической форме.

Свойства модуля:

Аргументом числа z называется полярный угол точки изображающей данное комплексное число.


3. Решение уравнения . Корни n-ой степени из комплексного числа.

4. Функция

Формула Эйлера.


5. Границы числовых множеств. Точная верхняя и нижняя границы. Окрестность точки. Функция.

1) Множество X называют ограниченным сверху, если существует M, для которого xM

2) Множество X называется ограниченным снизу, если существует m, для которого mx.

Множество ограниченное сверху и снизу – ограниченное.

Число y называется верхней границей (мажорантой) множества A, если выполняется неравенство xy для любого x из А.

Число x называется нижней границей (минорантой) множества A, если выполняется неравенство xa для любого a из А.

Если существует верхняя (нижняя) граница для множества, то все числа, которые больше (меньше) верхней (нижней) границы тоже являются верхними (нижними) границами.

Самая маленькая верхняя граница множества называется точной верхней границей – супремумом множества А.

Самая большая нижняя граница множества называется точной нижней границей – инфининумом множества А.

Окрестность точки:

Пусть a,ε принадлежат R, ε>0. Множество:

называется ε-окрестностью точки а.

Множество:

назыв. проколотой ε-окрестностью точки а.

Функция:

Если каждому элементу x принадлежащему X по некоторому правилу f поставлен в соответствие единственный элемент f(x) принадлежащий Y, то говорят, что на множестве X определена (задана) функция f, принимающая значения из множества Y, или, что функция f отображает множество X во множество Y.

f: X→Y

6. Предел функции. Бесконечно малые. Теорема о единственности предела и о сохранении знака.

Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a < верно неравенство f(x) - A< .

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если.

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет

Теорема о единственности предела: (10с.)

7. Предельный переход в равенстве и неравенстве.

Предельный переход в неравенстве.

Если и в некоторой проколотой окрестности точки a справедливо неравенство f(x)≤g(x), то bc.

Д-во:

Допустим противное b>c. Тогда и по теореме о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности справедливо неравенство f(x)-g(x)>0. По условию в некоторой проклотой окрестности справедливо неравенство f(x)≤ g(x). Пусть . Тогда в должны быть справедливы оба неравенства, f(x)≤ g(x) и f(x)>g(x), что невозможно.

Предельный переход в равенстве.

Пусть существует окрестность такая, что для всех точек X верно f(x)=g(x), и при этом существует

8. Теорема о сжатой переменной

Д-во:

Возьмем произвольное ε>0.

Возьмем . Тогда для

Справедливы все три утверждения:

По определению предела имеем

9. Предел суммы, произведения, частного.

1)

Д-во

Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где , тогда

f(x) g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит


2)

Д-во

Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где, тогда

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значит

3)









10. Предел суперпозиции.


11. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Односторонние пределы.

Если f(x) A1 при х а только при x < a, то - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x) A2 при х а только при x > a, то