Архив шпаргалок (mat analiz shpors)

Посмотреть архив целиком

  1. Предел функции в точке. Единственность предела. Ограниченность функции, имеющей предел. Связь функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.

Число А называется пределом функции f в точке а, если она определена на некоторой окрестности а, т.е. на некотором интервале (c,d), где c<a<d, за исключением, быть может, самой точки а, и если для всякого >0 можно указать зависящее от него >0 такое, что для всех x, для которых имеет место неравенство . Тот факт, что А есть предел f в точке a, принято записывать или .

Теорема. Если , где A – конечное число, то на некоторой окрестности U(a) функция f(x) ограничена, т.е. существует положительное число М такое, что для всех,.

Доказательство. Из условия теоремы следует существование окрестности U(a), такой, что . Отсюда для указанных х, где надо считать . Теорема доказана.

Функция f, для которой , называется бесконечно малой при .

  1. Свойства бесконечно малых функций. Предел суммы, произведения и частного. Переход к пределу в неравенствах, предел промежуточной функции.

Функция называется бесконечно малой в точке x0, если предел ёё в этой точке равен нолю. Функция называется бесконечно большой в точке x0, если её предел в этой точке равен бесконечности.

Св-ва б.м.ф.:

1) Если функция f(x) ограничена, а m(x) бесконечно большая, то

2) Если абсолютная величина f(x) ограничена снизу положительным числом, а m(x) не равная нулю бесконечно мала, то

Предел суммы равен сумме пределов, предел произведения равен произведению пределов, предел частного равен частному пределов в том случае, если предел знаменателя не равен нулю.

Теорема. Если , и на некоторой окрестности U(a), ,, то . Доказательство. Пусть , ; тогда для достаточно большого n0 имеет место неравенство и после перехода к пределу неравенство .

Теорема .Если

, (1)

и на некоторой окрестности U(a), , то

. (2)

Доказательство. Пусть , ; тогда при достаточно большом n0 для